《2020年湖南省常德市高三高考模拟考试(一)数学(理)试题解析（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年湖南省常德市高三高考模拟考试(一)数学(理)试题解析（含答案）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、绝密 启用前 2020 届湖南省常德市高三高考模拟考试 一 理科数学试卷一 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上 总分 150 分时量 120 分钟 一 选择题 本大题共12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 P 65 xx Q 065 2 xxx 则 PQ 桃源县第四中学 A 61 xx B 61 xx C 61 xx D 61 xx 答案 由已知得 Q 1 6 P 5 6 故 PQ 1 6 故选 C 2 设复数z满足3 1 ziz 则下列说法正确的是 桃源一中 A z的虚部
2、为2i B z为纯虚数 C 5z D 在复平面内 z对应的点位于第二象限 答案 C 由 3 1 ziz 得 3 3 1 12 12 iii zi i 22 1 25z 3 设等差数列 n a的前n项的和为 n S 若 53 47Sa 1 1a 则 6 a 桃源一中 A 37B 16 C 13D 9 答案 B 设等差数列 n a的公差为 d 由 53 47Sa 得 11 5 51 54 2 7 2 adad 将 1 1a 代入上式解得3d 故 61 511516aad 法二 53 47Sa 又 53 5Sa 所以 3 7a 由 1 1a得3d 故 61 511516aad 4 如图是某市连续16
3、 日的空气质量指数趋势统计图 空气质量指数 AQI 小于 100 表示空气质量优良 空 气质量指数大于200 表示空气重度污染 则下列说法 不正确的是 桃源一中 A 这 16 日空气重度污染的频率为0 5 B 该市出现过连续4 天空气重度污染 C 这 16 日的空气质量指数的中位数为203 D 这 16 日的空气质量指数的平均值大于 200 答案 D 这 16日空气重度污染的频率为 8 0 5 16 故 A正确 12 日 13日 14 日 15 日连 续4 天 空 气 重 度 污 染 故B 正 确 中 位 数 为 1 192214 203 2 故C 正 确 1 200 147543 43 6
4、x 120 48 60 117 40 21 62 14216323 8 200 解得 1 1 3 x g xf xax 其中a为常数 则下列说法中正确的个数 为 桃源一中 函数 f x恰有 4 个零点 对任意实数a 函数 g x至多有 3 个零点 若a 0 则函数 g x有且仅有3 个零点 若函数 g x有且仅有3 个零点 则a的取值范围为 11 0 62e U 桃源一中 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 当0 x 时 f x 的图像为抛物线 21 6 yxx的一部分 当0 x 时 当0 x 时 2 1ln x fx x 所以 0 xe 时 0fx f x 单调递增 xe 时 0fx
5、f x 单调递减 画出 f x 的图像如图所示 由图可知 f x 恰有 3 个零点 故 不正确 设 f x 的过原点的切线的斜率为 1 k 切点为 0 0 0 ln x P x x 2 ln1ln xx xx 由 0 22 0 0 0 2 0 1ln ln x k x x x k x 解得 01 1 2 xe k e f x 在0 x 处的切线 2 l的斜率为 2 200 1111 2 6662 xx kxxx e 因为 g xf xax 零点个数 即函数 yf x 与yax 的交点个数 由图可知 1 2 a e 时 有 1 个交点 1 2 a e 时 有 2 个交点 11 62 a e 时
6、有 3 个交点 1 0 6 a 时 有 4 个交点 0 a时 有 3 个交点 所以 不正确 正确 说明 显然0 x 是 g x 的零点 x0 时 也可转化为 f x a x 零点的个数问题 也可以 画图得出答案 二 填空题 本大题共4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡 中对应题号后的横 线上 13 已知函数 ln 1 x fxxex 则曲线 yf x 在0 x 处的切线方程为 2yx 桃源一中 14已知实数 x y 满足约束条件 10 330 10 xy xy xy 则 32zxy 的最小值为 2 15 已知数列 n a的各项为正 记 n S为 n a的前n项和 若 2 1
7、 1 3 2 n n nn a anN aa 1 1a 则 5 S 121 桃源一中 16 已知双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab O是坐标原点 F是C的右焦点 过F的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 A B 且 OAB 为直角 记 OAF 和 OAB 的面积分别为 OAF S 和 OAB S 若 1 3 OAF OAB S S 则双曲线 C 的离心率为 答案 2 6 3 或 2 3 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题12 分 已知向量m sin3 x n 1cos x 且函数 f x mn 若 5 0 6 x 且 2 3 f x 求si
8、nx的值 在锐角 ABC中 角ABC 的对边分别为abc 若a 4 ABC的面积为4 3 且 1 sin 32 f AcB 求 ABC的周长 桃源一中 解 f x mn sin3 x 1cos x sin3cosxx 2sin 3 x 2 分 Q 2 3 f x 1 sin 33 x 又 5 0 6 x 332 x 2 2 cos 33 x 4 分 所以 1 12 2312 6 sinsin 333 2326 xx 6 分 因为 1 sin 32 f AcB 所以 1 2sinsin 2 AcB 即4sinsinAcB 由正弦定理可知4abc 又a 4所以bc 16 8 分 由已知 ABC的面
9、积 1 sin4 3 2 bcA 可得 3 sin 2 A 又 0 2 A 3 A 10 分 由余弦定理得 22 2cos1bcbcA 故 22 32bc 从而 2 64bc 所以 ABC的周长为12 12 分 18 本小题12 分 如图 在四棱锥PABCD中 平面PAD平面ABCD 底面ABCD是直角梯 形 ADBC AB AD 22ADBCAB O是AD的中点 在线段PA上找一点E 使得BE 平面PCD 并证明 在 1 的条件下 若2PAPDAD 求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值 桃 源一中 解 E是线段 PA的中点 1 分 证明 连接 BE OE OB O是 AD的中点 O
10、EPD 又OE平面PCD PD平面PCD OE 平面PCD 3 分 又 底面ABCD是直角梯形 22ADBCAB OBCD 又OB平面PCD CD平面PCD OB 平面PCD 4 分 OE平面OBE OB平面OBE OE OBOI 平面OBE 平面PCD 又 BE平面OBE BE 平面 PCD 6 分 也可通过线线平行来证明线面平行 平面PAD平面ABCD 2PAPDAD POAD PO平面ABCD 且1OC 3PO 以O为原点 如图建立空间直角坐标系Oxyz 8 分 得 0 0 0O 1 1 0B 0 0 3P 1 0 0C 13 0 22 E 得 13 0 22 OE uuu r 1 1
11、0OB uuu r 设 mx y z u r 是平面OBE的一个法向量 则 mOE mOB u ruu u r u ruu u r 得 30 0 yz xy 取3x 得3 3 1m u r 10 分 又易知0 1 0n r 是平面POC的一个法向量 设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为 则 321 coscos 7 7 1 m n m n mn u r r u r r u rr 即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为 21 7 12 分 19 本小题12 分 随着快递行业的崛起 中国快递业务量惊人 2018 年中国快递量世界第一 已连续 五年突破五百亿件 完全超越美日欧的总和 稳
12、居世界第一名 某快递公司收取费的标准是 不超过1kg 的包裹收费8 元 超过 1kg 的包裹 在8 元的基础上 每超过1kg 不足 1kg 按 1kg 计算 需再收 4 元 该公司将最近承揽 接收并发送 的 100 件包裹的质量及件数统计如下 表 1 表1 公司对近50 天每天承揽包裹的件数 在表 2 中的 件数范围 内取的一个近似数据 件数范围及天数 列 表如下 表 2 表 2 将频率视为概率 计算该公司未来3 天内恰有1 天揽件数在 100 300 内的概率 根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计 估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值 根据以上统计数据 公司将快递费的三分之一
13、作为前台工作人员的工资和公司利润 其余用作其他费 用 目前 前台有工作人员5 人 每人每天揽件数不超过100 件 日工资80 元 公司正在考虑是否将前台 人员裁减1人 试计算裁员前 后公司每天揽件数的数学期望 若你是公司决策者 根据公司每天所获利 润的期望值 决定是否裁减前台工作人员1 人 桃源一中 解 将频率视为概率 样本中包裹件数在 100 300 内的天数为 102535 频率为 357 5010 f 故该公司 1 天揽件数在 100 300 内的概率为 7 10 2 分 未来 3 天包裹件数在 100 300 内的天数 X服从二项分布 即 7 3 10 XB 所以未来 3 天内恰有 1
14、 天揽件数在 100 299 内的概率为 12 3 73189 10 101000 PC 5 分 由题 可知 样本中包裹质量 kg 快递费 元 包裹件数如下表所示 所以每件包裹收取 快递费的平均值为 1 438301215 1682042412 100 7 分 根据题意及 揽件数每增加1 公司快递收入增加12 元 若不裁员 则每天可揽件的上限为500 件 公司每日揽件数情况如下 每天承揽包裹的件数Y的期望 E Y 50 0 1 150 0 2 250 0 5 350 0 1 450 0 1 240 包裹质量 kg 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 包裹件数43 30 15 8 4 件数范
15、围 0 100 100 200 200 300 300 400 400 500 天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数50 150 250 350 450 包裹质量 kg 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 快递费 元 8 12 16 20 24 包裹件 数 43 30 15 8 4 件数范围 0 100 100 200 200 300 300 400 400 500 天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数 Y 50 150 250 350 450 概率 P 0 1 0 2 0 5 0 1 0 1 公司每日利润的期望值为 1 24012580560 3 元 9 分 若裁员
16、 1 人 则每天可揽件的上限为400 件 公司每日揽件数情况如下 每天承揽包裹的件数Y的期望 E Y 50 0 1 150 0 2 250 0 5 350 0 1 400 0 1 235 公司每日利润的期望值为 1 235124 80620 3 元 11 分 因为 560 620 所以公司应将前台工作人员裁员1 人 12 分 20 有一种曲线画图工具如图1 所示 是滑槽的中点 短杆 ON 可绕 O转动 长杆 MN 通过 N处铰链与 ON连接 MN 上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动 且 2 1 ONDN 1DM 当栓子 D 在滑槽 AB内作往复运动时 带动 N绕 转动 M处的笔尖画出的曲线记为C 以 为原点 所 在的直线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 求曲线 C的轨迹方程 2 设 2 F 为曲线 C的右焦点 P为曲线 C上一动点 直线 2 PF 斜率为 0 kk 且2 PF 与曲线 C的另一个交点为 Q 是否存在点 0 tT 使得TQPTPQ 若存在 求 t 的取值范围 若 不存在 请说明理由 芷兰实验学校谌兴明供题 解 1 设 yxM则 0 2 x D 则1 2 22 y x x
