辽宁省本溪市2020届高三第六次月考数学(理)试卷（含答案）

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1、理 科 数 学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 i i 2 3 A 1 i B 2 2i C 1 i D 2 2i 2 设集合 1 79 22 yx yxM 2 x yyxN 则NM的子集的个数是 A 8 B 4 C 2 D 0 3 张丘建算经 是中国古代的数学著作 书中有一道题为 今有女善织 日益功疾 注 从第 2天开始 每天比前一天多

2、织相同量的布 第一天织5 尺布 现一月 按30 天计 共织 390 尺布 则第 30 天织布 A 7 尺 B 14 尺 C 21 尺 D 28 尺 4 以下四个结论 正确的是 质检员从匀速传递的产品生产流水线上 每间隔 15 分钟抽取一件产品进行某项指标检 测 这样的抽样是分层抽样 在回归直线方程3 11 0 xy中 当变量x每增加一个单位时 变量 y 增加 0 13 个单 位 在频率分布直方图中 所有小矩形的面积之和是1 对于两个分类变量X与Y 求出其统计量 2 K的观测值k 观测值k越大 我们认为 X 与Y有关系 的把握程度就越大 A B C D 5 在 8 1 1 xx的展开式中 3 x

3、的系数是 A 14 B 14 C 28 D 28 6 抛物线 2 2 0 ypxp的焦点为F 准线为l A B是抛物线上的两个动点 且满足 2 3 AFB 设线段AB的中点M在l上的投影为N 则 MN AB 的最大值是 A 3 3 B 3 C 3 2 D 3 4 7 设 m n是两条不同直线 是两个不同的平面 下列命题正确的是 A nnmm B mn且 则mn C mn mn 那么D nmnm 8 已知双曲线的中心在原点 一个焦点为 1 5 0F 点P在双曲线上 且线段 1 PF的中点 坐标为0 2 则此双曲线的方程是 A 2 2 1 4 x yB 22 1 23 xy C 22 1 32 x

4、y D 2 2 1 4 y x 9 已知向量 1 sin 2 mA u r 与向量 3 sin3cos nAA r 共线 其中A是ABC的内角 则角A的大小为 A 2 B 4 C 3 D 6 10 已知 fx 在R上是可导函数 则f x的图象如图所示 则不等式 2 230 xxfx的解集为 A 21 U B 21 2U C 11 02 UUD 11 13 UU 11 已知正四面体ABCD的棱长为3 则其外接球的体积为 A 3 8 B 8 29 C 9 28 D 2 9 12 已知椭圆 22 1 1 13 xy C mn 与双曲线1 22 2 n y m x C有相同的焦点 则双曲线 2 C的

5、一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为 A 1 B 2 2 C 1 0 D 3 1 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生 将他们的数学检测成绩 满分100 分 分 成 6 组 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 加以统计 得到如图所示 的频率分布直方图 已知高一年级共有学 生 800 名 据此估计 该数学检测成绩不少于60 分的学生人数为 人 14 在等比数列 n a中 25 3 81aa 则数列 log 3n a的前 n 项和为 15 在由数字0 1 2 3 4 5 所组成的没有重复数字的四

6、位数中 不能被5 整除的数共 有 个 用数字作答 16 设 n S是数列 n a的前n项和 且 1 1 a 11 2 nnn SSa 则 2020 S 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 图 1 图 2 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 设ABC的内角CBA 的对边分别为cba 且 sin3sin2 sin3sin2 sin 2cBCbCBCBa 1 求角A的大小 2 若4a 34b 求ABC的面积 18 12 分 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为1

7、 点M是BC的中点 AMC1是以M为直角顶点的 等腰直角三角形 1 求点B到平面AMC 1的距离 2 求二面角M AC1 C的大小 19 12 分 2019 年 7 月 超强台风登陆某地区 据统计 本次台风造成该地区直接经济损失119 52 亿元 经过调查住在该地某小区的50 户居民由于台风造成的经济损失 作出如下频率分布 直方图 图1 1 根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失 2 台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款 经过调查的50 户居民捐款情况如 下表 在图2 表格空白处填写正确数字 并说明是否有95 以上的把握认为捐款数额是否 多于或少于500 元和自身经济损失是否到4

8、000 元有关 3 台风造成了小区多户居民门窗损坏 若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅 两人进行维修 王师傅每天早上在7 00 到 8 00 之间的任意时刻来到小区 张师傅每天早 上在 7 30 到 8 30 分之间的任意时刻来到小区 求王师傅比张师傅早到小区的概率 附 临界值表 参考公式 2 2 n adbc K abcdacbd nab cd 20 12 分 已知动圆M过定点F 0 1 且与直线l y 1 相切 椭圆C2的对称轴为坐标轴 O 点为坐标原点 F是其一个焦点 又点A 0 2 在椭圆C2上 1 求动圆圆心M的轨迹C1的标准方程和椭圆C2的标准方程 2 若过F的动直线m交椭圆C

9、2于B C点 交轨迹C1于D E两点 设S1为 ABC的面 积 S2为 ODE的面积 令Z S1S2 试求Z的取值范围 21 12 分 已知函数 lnfxxx 1 设实数 1 2 a e e为自然对数的底数 求函数 fx在 2aa上的最小值 2 若k为正整数 且 1f xkxk对任意1x恒成立 求k的最大值 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy 中 过点 P l 0 作倾斜角为 6 的直线l 以原点 O为极点 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C1的极坐标方

10、程为1 将曲线 C1上各点的横坐标 伸长为原来的2 倍 纵坐标不变 得到曲线C2 直线l与曲线 C2交于不同的两点M N 1 求直线l的参数方程和曲线C2的普通方程 2 求 11 PMPN 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 31 3fxxax 1 若a l 解不等式 5 xf 2 若函数f x 有最小值 求实数a的取值范围 数学 理科 参考答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D C A B D C D B A 二 填空题 13 640 14 2 2 nn 15 192 16 4039 1 三 解答题 17 本小题满分12分

11、解 由已知及正弦定理可得cbcbcba 32 32 2 2 2分 整理得bcacb3 222 所以 2 3 2 3 2 cos 222 bc bc bc acb A 4分 又 0 A 故 6 A 6分 由正弦定理可知 B b A a sinsin 又2a 32b 6 A 所以 2 3 sin B 又 6 5 0 B 故 3 B或 3 2 8分 若 3 B 则 2 C 于是 38 2 1 abS ABC 10分 若 3 2 B 则 6 C 于是34sin 2 1 CabS ABC 12分 18 本小题满分12 分 1 设点B到平面AMC1的距离为h 则 11 BMCAAMCB VV 2 分 由

12、I 知AM C1M AM CB AM 平面C1CBB 1 2 分 AB 1 BM 2 2 2 3 2 1 11CCMCAM可求出 AMShS MBCAMC 11 3 1 3 1 4 分 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 1 3 1 h 得 6 6 h 6 分 2 过 M作 11 MMCC交 1 1 BC于 1 M y x z B1 M C1 M B A C A1 以 M为坐标原点 1 BCAM MM分别为 x轴 y轴 轴方向 建立空间直角坐标系 7 分 设面 1 ACC的一个法向量为 ux y z r 由 1 0 0 AC u CC u uuu r r uuu u r

13、 r得 13 0 22 2 0 2 xy z 取 1y 则3 0 xz 3 1 0u r 8 分 同理可求得面 1 AMC的一个法向量为 2 0 1v r 10 分 设二面角 1 MACC的大小为 由图知为锐角 故 62 coscos 22 3 u v r r 11 分 故二面角 1 MACC的大小为 4 12 分 19 本小题满分12 分 解 记每户居民的平均损失为x元 则 10000 0001530000 000250000 00009 70000 0000390000 00003 20003360 x 4分 如图 2 250 30 69 5 39 11 35 15 4 0463 841

14、K 所以有95 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500 元和自身经济损失是否4000 元有关 8 分 设王师傅 张师傅到小区的时间分别为x y 则 x y 可 以看成平面中的点 试验的全部结果所构成的区域为 78 7 58 5x yxy 则 1S 事件 A表示王师 傅比张师傅早到小区 所构成的区域为 78 7 58 5Ax yyxxy 即图中的阴影部分 10分 面积为 1117 1 2228 A S 所以 7 8 A S P A S 11分 王师傅比张师傅早到小区的概率是 8 7 12分 20 本小题满分12 分 解 依题意 由抛物线的定义易得动点Q的轨迹 M的标准方程为 x 2 4y 2

15、 分 依题意可设椭圆N的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 显然有c 1 a 2 b 3 椭圆 N的标准方程为1 34 22 xy 4 分 显然直线m的斜率存在 不妨设直线m的直线方程为 y kx 1 联立椭圆C2的标准方程1 34 22 xy 有 3k 2 4 x2 6kx 9 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 43 9 43 6 2 21 2 21 k xx k k xx 6 分 则有 x1 x2 2 2 12 1 34 k k S1 1 2 AF x1 x2 2 2 18 1 34 k k 8 分 再将 式联立抛物线方程x 2 4y 有 x 2 4kx 4

16、 0 设 D x3 y3 E x4 y4 得 x3 x4 4 2 1 k S2 1 2 OF x 3 x4 2 2 1 k 10 分 Z S1S2 2 2 36 1 34 k k 12 1 2 1 34k 12 1 1 4 9 当 k 0 时 Zmin 9 又 Z 12 Z 9 12 12 分 21 本小题满分12 分 1 f x 的定义域为 0 ln1fxx 0fx令 1 x e 得 1 0 x e 当时 0Fx fx单调递减 当 1 x e 时 0Fx fx单调递增 2 分 当 min 1 2 ln afxaafxf aaa e 时在单调递增 4 分 min 11111 2 2 aaaf xf eeeee 当时 得 6 分 2 1 fxkxk对任意1x恒成立 即lnxxx 1 k x对任意1x恒成立 即 ln 1 xxx k x 对任意1x恒成立 7 分 令 2 lnln2 1 1 1 1 xxxxx g xxg xx xx 令 1 ln2 1 0 x h xxxxhxh x x 在 1 上单调递增 8 分 3 1ln 30 4 2ln 40 hh 所以 h x 存在唯一零点 0