《精编》风险不确定性及个人效用函数分析

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1、1 2 教学目的及要求 了解什么是风险和不确定性认识投资者的风险态度了解在投资者根据风险和收益为自己的资产组合标定福利或效用的方法重点内容掌握在风险和不确定性条件下投资者消费的效用满足的衡量风险的度量方法和投资者的风险态度 3 第一节风险与不确定性第二节 不确定性条件下的效用函数第三节 风险厌恶 公平赌局 风险喜好 4 第一节确定性 风险与不确定性 一 什么是风险与不确定性二 不确定性下建立偏好模型的方法三 不确定性下的决策原则 5 一 风险 不确定性与不确定性的定义 金融决策是时序决策 它们包括 选择 选择的结果向将来延伸 由于将来是未知的 金融决策不可避免的在不确定条件下进行 为了开始我们

2、对金融经济学的研究 必须对 确定 和 不确定 进行概念上的区分 在此基础上 我们然后才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构 理解不确定条件下决策的原理对于充分评价金融经济分析的不同论点是必要的 6 风险 不确定性与利润 1921 FrankHynemanKnight 1885 1972 Knight不承认 风险 不确定性 提出 风险 是有概率分布的随机性 而 不确定性 是不可能有概率分布的随机性 Knight的观点并未被普遍接受 但是这一观点成为研究方法上的区别 7 一 定义 奈特 1938 对风险与不确定性进行了明确的区分 根据费兰克 奈特 Frank H Kninght 的观点 所谓 不

3、确定性 状态 是指那些每个结果的发生概率尚未不知的事件 如明年是否发生地震是不确定的 因此 不确定性是指发生结果尚未不知的所有情形 也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件 并且仅在做出决策后 决策者才知道其决策结果的一类问题 8 所谓 风险状态 是指那些涉及以已知概率或可能性形式出现的随机问题 但排除了未数量化的不确定性问题 所谓 确定性 指自然状态如何出现已知 并替换行动所产生的结果已知 9 由于对有些事件的客观概率难以得到 人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性 因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不

4、同结果的事件同时视为风险 也就是说 风险与不确定性有区别 但在操作上 我们引入主观概率或设定概率分布的概念 其二者的界线就模糊了 几乎成为一个等同概念 10 二 风险来源的不同看法 风险与不确定性联系在一起 一项经济活动的风险可以由其收益的不可预测性的波动性来定义 而不管收益波动采取什么样的形式 风险与其可能带来的不利后果相联系 一项经济活动的风险可以由收益波动的损失来定义 一项经济活动的风险是与不确定性和相应的不利后果相联系的 即以价格或收益的波动衡量不确定性 在这种不确定性给投资者带来损失时就构成一项经济活动的风险 11 三 在投机与赌博中的风险 风险 承担风险一定要求风险补偿 投机 在获

5、取相应报酬时承担一定的风险 赌博 是为一个不确定的结果打赌或下注 12 二 不确定性下建立偏好模型的方法 一 状态偏好方法 Arrow Debreu Hirshleifer 用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合 而不是用概率来反映个人所面临的随机性 13 不确定性下选择的要素设定 A 可行行为的集合S 可能现实状态的集合C 结果的集合行为a A和s S结合产生的结果c C函数f把行为与状态和结果对应起来 s a c f s a 14 当经济行为人在可行的行为之间进行选择时 他们以被选行为产生的结果为基础进行选择 但是行为对于决定特别的结果来说 常常是不充足的 其他因素会与选择的行为相互作用

6、产生一个特别的结果 这些其他因素 超越了经济行为人的控制 被称为现实状态 大量的现实状态的存在使得目前所采取的任何行为的将来结果是不确定的 15 在决定行为的过程中 行为人对现实状态是不确定的 这些状态将共同确定被选行为的结果 选择行为a就为每一现实状态决定了一个结果f s a 对A中行为的选取从而被视为对依赖状态 或偶然状态 结果的选取 16 通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策 若f关于现实状态是不变的 即现实状态不会影响产生的结果 则可以认为是确定条件下的决策 若不同的状态导致不同的结果 则可以认为是不确定条件下的决策 一个简单的例子 17 二 用概率来描述 不确定条

7、件下的决策另一种思考方法 在本质上它与上面描述的完全相同 但有时更易处理 既然在行为 现实的状态和结果之间的关系通过函数f S A C来描述 在S上定一个概率测度 对任意a A 存在一个C上的概率分布 对K C Prob K Prob s S f s a K 18 简单地说 一个特定结果的概率等于现实状态的概率 给定一个行为 现实状态会导致结果 公平的说一个行为的选择总的来说是对于结果的一个概率分布的选择 考虑不确定条件下决策的一个同等方法就是将其作为在可选的概率分布之间所作的选择 一个简单的例子 19 不确定条件下的选择的两种方式作为一种在依存状态的结果之间进行的选择作为一种在不同结果的概率

8、分布之间进行的选择 20 三 不确定性下的决策原则 一 确定性下的决策原则 收益最大准则收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下 按照这一法则 只需选取收益率最高的投资机会即可 通过正确的选择 可以实现投资期末的财富最大化 经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这一准则 21 这样的一个收益最大准则可以应用于我们的不确定环境下的投资决策问题吗 特别是对于不确定收益的证券的资产组合的选择问题的应用 下面的例子表明 收益最大准则仅可以收益确定的环境中 而在收益不确定的情形 收益最大准则并不适用 例子 一个公司的最优生产决策问题 22 二 不确定性下理性决策的三种原则 数学期望最大化原则期望效用最

9、大原则后期望效用最大原则 23 最大期望收益准则 不确定的条件下最大期望收益准则是指使用投资收益的预期值比较各种投资方案优劣 这一准则有其合理性 它可以对各种投资方案进行准确的优劣比较 同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广 例子 一个投资决策问题 沿用上题的例子 24 是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢 圣彼得堡悖论 18世纪的一个经典的例子 圣彼得堡悖论 这个例子说服18世纪的学者期望收益最大化原则不是最合适的在不确定性下的决策原则 25 圣彼德堡悖论 1738年发表 对机遇性赌博的分析 提出解决 圣彼德堡悖论 的 风险度量新理论 指出用 钱的数学期望 来作为决策函数不

10、妥 应该用 钱的函数的数学期望 DanielBernoulli 1700 1782 26 圣彼德堡悖论 问题 考虑一个博弈 掷硬币直到头部出现为止 当头部出现时 如果投掷次数为x 则奖励金额为2x 1元 一旦头部出现 博弈终止 从理论上来说 这一博弈可以无限进行下去 但为了参加这一博弈 愿意支付多少金额 27 圣彼德堡悖论 问题 续 有这样一场赌博 第一次赢得1元 第一次输第二次赢得2元 前两次输第三次赢得4元 一般情形为前n 1次输 第n次赢得2的n 1次方元 问 应先付多少钱 才能使这场赌博是 公平 的 如果用数学期望来定价 答案将是无穷大 但经过试验观察 我们发现 为了参加这一游戏 人们

11、愿意付出的金额在2 3之间 因此 期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性问题 28 对于证券投资来讲 只追求期望收益最大化的投资者绝不会选择一个多元化的资产组合 如果一种证券具有最高的期望收益 这个投资者会把他的全部资金投资于这种证券 如果几种证券具有相同的最大化期望收益 对这个投资者来说 投资于若干这些证券的组合或者只是其中的某一种证券是无差别的 由此可见 如果我们认为多元化是投资的基本原则的话 我们必须否定仅仅最大化期望收益原则的目标假定 29 期望效用准则贝努力提出期望效用准则方法 用期望效用作为最大化的目标 假设投资者关心的是期末财富的效用 从而成功解决了圣彼得堡悖论问题 用期末财富

12、的对数形式或指数形式作为效用函数 则alog w 或w1 2表示效用函数 w表示财富 那么通过简单的计算 可以发现人们的确定等价财富的确在2 3元之间 30 彼得堡大街悖论告诉我们 最大期望收益准则在不确定情形下的时候可能导致不可接受的结果 而贝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案 可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案 31 期望效用原则是期望收益原则的一种替代 根据期望效用 20 的收益不一定和2倍的10 的收益一样好 20 的损失也不一定与2倍的10 损失一样糟 32 后期望效用理论 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论 如前景理论 遗憾理论 加权的期望效用理

13、论 非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释 33 第二节期望效用理论 一 二元关系与偏好关系二 效用函数三 期望效用函数四 期望效用准则矛盾 34 一 二元关系 binaryrelations 与偏好关系 preferencerelationship 一个集合上的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系 有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性质 有的二元关系所涉及的两个元素则属于不同性质的集合 有的二元关系满足一定的性质 如完全性 传递性 自反性 非 对称性 我们主要考虑前三者 35 一 二元关系 binaryrelations 与偏好关系 preferenc

14、erelationship 续 如果二元关系满足 对于任意x y z X x y y z 意味着x z 则称 具有传递性 如果二元关系满足 对于任意x y X 要么x y y x 则称 具有完全性 如果二元关系满足 对于任意x X 有x x 则称 具有自反性 36 定义 偏好关系 preferencerelationship 是指具有传递性 完全性 自反性的一个二元关系 给定偏好关系 称x与y是无差别的 如果x y y x 记为x y称x严格偏好y 如果x y 但y x不成立 记作 x y 37 二 效用函数 确定性下的选择与福利标定 效用函数 表示偏好关系的函数 X上的偏好关系可以用效用函数

15、来表示是指存在X到R的函数U 使得 x1 x2 X x1 x2 U x1 U x2 38 三 期望效用函数 给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示 但是当可能状态数目非常巨大时 证券组合是一个高维的向量或随机变量 为此 我们对效用函数进一步限制 经常用一类更为特殊的 性质更好的效用函数 期望效用函数 下面我们将讨论在什么情形下 偏好关系不单单能被效用函数表示 而且是期望效用函数表示 39 一 不确定性下的选择问题与对象 不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择 也取决于自然状态本身的选择或随机变化 因此不确定下的选择对象被人们称为彩票 Lottery 或未定商品 contin

16、gentcommodity 40 投资者的证券组合选择 抽彩lottery投资者的消费计划 或者投资收益 也可以看成一个彩票 Z中的元素为所有可能各种奖金数额 不妨设Z z1 zn 得到奖品的zi的概率为p zi i 1 2 n z1 p1 zn pn 表示一次性抽彩p P 41 复合性抽彩 acompoundlottery 一次性抽彩的线性组合 记为 42 二 期望效用函数 不确定性下的福利表达方式 在不确定性下 商品量 证券收益 都是随机变量 在所涉及的随机商品量x集合上直接定义效用函数u 它应该满足 E u1 x u x u1 x 是一个随机变量 若具体到以概率p取a 以概率 1 p 取b的随机变量x 这种效用函数应满足 pu a 1 p u b u x 其含义是一种 未定商品 的效用就等于该 未定商品 所涉及的 确定商品 效用的均值 满足这样条件的效用函数就是期望效用函数或vonNeumann Morgenstern效用函数 43 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数 它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望 用它来判断有风险的利益就是