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1、 现代金融经济学 第10章期权定价模型 本章大纲 复合证券和衍生证券的定价原则布莱克 舒尔斯 Black Scholes 期权定价公式期权定价公式的应用 10 1复合证券和衍生证券的定价原则 前提假设 经济行为主体及其效用函数的假设证券市场组成的假设证券市场的均衡消费配置是帕累托最优的在以上假设下 我们可以构建一个具有严格凹的增效用函数u0和u1的代表性经济行为主体 并由此推导出证券的风险补偿均衡关系 也即风险证券j的风险补偿为正值的充分必要条件是其时期1的随机收益与时期1的总财富正相关 利用效用函数的特点 10 9 即在证券市场均衡时 证券j的风险补偿和市场组合的风险补偿成比例 其比例系数等
2、于rj和的协方差与rm和的协方差之比 效用函数为幂函数时的定价关系假设经济行为主体在时期1的效用函数为幂函数当B 1时 经济行为主体的效用函数为二次效用函数 上式变为我们所熟悉的CAPM关系式 当B 1 2时 代表性的经济行为主体时期1的消费的效用函数为三次函数 由期权的性质我们可以判断期权的现时价格并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收益分布 以上严格不等式背后隐含的直观经济含义如下 一个必须执行的 以执行价格k在时期1购买1个单位的标的证券j的义务 其现值为pj k 1 rf 当存在一个严格正值的概率使得严格小于k时 不用执行购买的选择权就具有严格正的价值 从纯粹市场套利的观点
3、来讨论的期权价格的一些性质 一支期权的价格是其执行价格的凸函数 可以证明 这个性质在更加一般的条件下也成立 也即一支标的资产为正值权重的证券组合 执行价格为k的期权 其价值要小于以组合中的证券为标的资产 执行价格同样为k的相同权重的期权组合的价值 从纯粹市场套利的观点来讨论的期权价格的一些性质 10 2布莱克 舒尔斯期权定价公式 这里我们将首先证明 在标的证券或标的资产的未来收益率分布业已固定的情况下 一个买入期权的价格是其标的证券或标的资产的价格的增函数和凸函数 第一个证明是 看涨期权的价格vj pj k 是pj的增函数 并且如果 k的概率严格为正 则vj pj k 是pj的严格增函数 第二
4、个证明是 vj pj k 是pj的凸函数 前提假设两期的证券市场经济经济行为主体的效用函数如关系式 10 12 所定义在时期 我们赋予经济行为主体消费物品和市场交易证券选择一个代表性的经济行为主体 使其效用函数为幂函数进一步假设和服从二维对数正态分布 布莱克 舒尔斯 Black Scholes 期权定价公式的推导 求得布莱克 舒尔斯 Black Scholes 期权定价公式如下 几点说明 期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的 在这种经济中 经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度B的线性风险容忍效用函数 并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券 在市场均衡时 每个经济行为主体都持有一支无
5、风险证券和市场组合构成的线性组合 并且实现了帕累托最优 这样 如果一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中 在市场均衡时就没有人需要这支期权 这就是说 只要期权是按照关系式 10 32 和 10 35 式定价的 那么 在经济处于均衡时 引入一个买入期权 初始的均衡就不会遭到破坏 期权的定价使得在均衡时的经济中没有一个行为主体对其有所需求 在这样的背景下 期权在经济均衡时就没有配置资源的作用 因而有时就被称为多余证券或资产 证券定价的两个基本方法 均衡方法和无套利方法均衡是从相互作用的经济行为主体的活动中产生 所以需要对经济主体效用函数作出假设 经济行为主体的效用函数被假定为是具有相同谨慎度B
6、的线性风险容忍效用函数 并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券 无套利方法是基于无套利原理 在没有套利机会的金融市场中 两个期末收益相同的证券在任一时刻的交易价格应该相等 它只对价格进行比较 所以与行为主体效用函数无关 不管什么样的效用主体 只要市场是完全和有效的 则其价格关系必须满足无套利原理 无套利原理的核心思想是我们能用交易的证券完全复制一个证券 并因此给该证券定价 但无套利方法并不总是可以使用 有时我们无法使用无套利方法 但却可以使用均衡方法 均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架 也是一以贯之地在本书中得到体现和强调的思想逻辑主线 该方法把证券的价格更多地与基本经济概念联
7、系起来 即使是最简单的确定性模型 也可导出资产价格关于经济参数的表达式 正是在这种意义上 均衡方法比无套利方法更基本 因为后者假定价格是给定的 而均衡方法则可以说明价格的起因 10 3期权定价公式的应用 期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险的公司债券的定价研究 前提假设假设公司j有 个单位的普通股股票和一支面值为k的贴现债券在外流通 股票和债券的价格分别为Sj和Dj 贴现公债在时期 到期 公司j在时期 的总收入为 我们假设与时期 的总消费构成联合对数正态分布 并且这个分部的参数和我们上一节的讨论相同 的现值是该公司在时期 的价值 我们用Vj来表示 因此 Vj Sj Dj 运用关系式 1
8、0 3 计算Dj可得 同时 我们也可以用布莱克 舒尔斯期权定价公式以一种更直接和直观的方式来计算Dj 我们对有风险的公司债券可以作出两种解释第一种第二种 在推导布莱克 舒尔斯期权定价公式的条件下 我们总可以利用关系式 10 32 和 10 35 对以总消费量或总财富为标的的欧式买入期权进行定价 依据第 章的讨论我们知道 可以利用这些期权价格对任何复合证券进行定价 qc k 的一个比较静态分析从qc k 在不同的k之下的结构提取一些信息以上分析表明 用布莱克 舒尔斯期权定价公式对以总消费量为标的的欧式看涨期权进行正确定价的充分条件是 时期 的总消费量服从对数正态分布 并且代表性经济行为主体的相对风险厌恶是固定的 我们知道 一个以对总消费量的状况权证的定价概率密度被该总消费水平发生的概率密度除的结果就是 以就是代表性个体当前消费和未来消费的边际替代率 这个比率相对于其总消费的弹性是恒定的当且仅当代表性个体的 期效用函数呈恒定的相对风险厌恶 这样 用布莱克 舒尔斯期权定价公式对以总消费为标的的期权进行定价暗含了 期个体效用函数为具有恒定的相对风险厌恶的效用函数的假设 现代金融经济学 谢谢
