《2016年高考数学专题精解(一)：专题三：2.导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年高考数学专题精解(一)：专题三：2.导数的应用（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016年高考数学专题精解 一 专题三 导数及其应用 2 导数的应用 知识点一导数与函数的单调性 极值 1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数极值的概念 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程 的根 检查f x 的方程 的根的左右两侧导数值的
2、符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 3 极大值点 极小值点统称为极值点 极大值 极小值统称为极值 f x 0 f x 0 极大值 极小值 知识点二导数函数的最值及在实际生活中的应用1 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如
3、下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 最小值 最大值 f a f b 2 解决优化问题的基本思路 1 本部分知识可以归纳为 1 三个步骤 求函数单调区间的三个步骤 确定定义域 求导函数f x 由f x 0 或f x 0在 a b 上成立是f x 在 a b 上单调递增的充分不必要条件 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 2 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 3 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 求函数单
4、调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 方法1利用导数研究函数的单调性1 由f x 0 f x 0 的解集确定函数f x 的单调增 减 区间 若遇不等式中带有参数时 可分类讨论求得单调区间 2 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1 可导函数在某一区间上单调 实际上就是在该区间上f x 0 或f x 0 f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 恒成立 然后分离参数 转化为求函数的最值问题 从而获得参数的取值范围 2 可导函数在某一区间上存在单调区间 实际上就是f x 0 或f x 0 在该区间上存在解集 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题 3 若
5、已知f x 在区间I上的单调性 区间I中含有参数时 可先求出f x 的单调区间 令I是其单调区间的子集 从而可求出参数的取值范围 方法2导数与极值 最值1 求函数f x 极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域 再解方程f x 0 再判断f x 0的根是否是极值点 可通过列表的形式进行分析 若遇极值点含参数不能比较大小时 则需分类讨论 2 求函数f x 在区间 a b 上的最值的方法 1 若函数在区间 a b 上单调递增或递减 f a 与f b 一个为最大值 一个为最小值 2 若函数在闭区间 a b 内有极值 要先求出 a b 上的极值 与f a f b 比较 最大的是最大值 最小的是最小值
6、 可列表完成 解题指导 点评 将方程的根转化为函数图象交点问题 进一步转化为求函数的极大 极小 值问题 方法3利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 点评 解答本题的关键是设出未知量 列出函数关系式 然后分类讨论 利用导数求最值 还要注意函数定义域的范围 方法4构造
7、函数证明不等式恒成立问题利用导数证明不等式的方法 1 证明f x g x x a b 可以构造函数F x f x g x 如果F x 0 则F x 在 a b 上是增函数 同时若F a 0 由增函数的定义可知 x a b 时 有F x 0 即证明了f x g x 例4 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过P 1 0 且在P点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 点评 1 运用导数证明不等式f x g x 成立的一般步骤 第一步 构造h x f x g x 第二步 求h x 第三步 判断h x 的单调性 第四步 确定h x 的最小值 第五步 证明h x min 0成立 第六步 得出所证结论 2 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面 也是高考的一个新热点 其关键是构造适当的函数 判断区间端点对应的函数值与0的关系 实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性 并通过单调性证明不等式
