3-直角三角形的存在性问题解题策略

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1、卢老师编制 微信 lubiao551184 直角三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 解直角三角形的存在性问题 一般分三步走 第一步寻找分类标准 第二步列方程 第 三步解方程并验根 一般情况下 按照直角顶点或者斜边分类 然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题 常常和相似三角形 三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线 可以构造两个新 的相似直角三角形 这样列比例方程比较简便 在平面直角坐标系中 两点间的距离公式常常用到 怎样画直角三角形的示意图呢 如果已知直角边 那么过直角边的两个

2、端点画垂线 第 三个顶点在垂线上 如果已知斜边 那么以斜边为直径画圆 直角顶点在圆上 不含直径的 两个端点 例题解析 例 如图 1 1 在 ABC 中 AB AC 10 cos B 4 5 D E 为线段 BC 上的两个 动点 且 DE 3 E 在 D 右边 运动初始时 D 和 B 重合 当 E 和 C 重合时运动停止 过 E 作 EF AC 交 AB 于 F 连结 DF 设 BD x 如果 BDF 为直角三角形 求 x 的值 图 1 1 解析 BDF 中 B 是确定的锐角 那么按照直角顶点分类 直角三角形 BDF 存 在两种情况 如果把夹 B的两条边用含有x的式子表示出来 分两种情况列方程就

3、可以了 如图 1 2 作 AH BC 垂足为 H 那么 H 是 BC 的中点 在 Rt ABH 中 AB 10 cos B 4 5 所以 BH 8 所以 BC 16 由 EF AC 得 BFBE BABC 即 3 1016 BFx 所以 BF 5 3 8 x 图 1 2 图 1 3 图 1 4 如图 1 3 当 BDF 90 时 由 4 cos 5 BD B BF 得 4 5 BDBF 解方程 45 3 58 xx 得 x 3 卢老师编制 微信 lubiao551184 如图 1 4 当 BFD 90 时 由 4 cos 5 BF B BD 得 4 5 BFBD 解方程 5154 885 xx

4、 得 75 7 x 我们看到 在画示意图时 无须受到 ABC 的 限制 只需要取其确定的 B 例 如图 2 1 已知 A B 是线段 MN 上的两点 以 A 为 中心顺时针旋转点 M 以 B 为中心逆时针旋转点 N 使 M N 两点重合成一点 C 构成 ABC 设 AB x 若 ABC 为直角三角形 求 x 的值 图 2 1 解析 ABC 的三边长都可以表示出来 AC 1 AB x BC 3 x 如果用斜边进行分类 每条边都可能成为斜边 分三种情况 若 AC 为斜边 则 22 3 1xx 即043 2 xx 此方程无实根 若 AB 为斜边 则1 3 22 xx 解得 3 5 x 如图 2 2

5、若 BC 为斜边 则 22 1 3 xx 解得 3 4 x 如图 2 3 因此当 3 5 x或 3 4 x时 ABC 是直角三角形 图 2 2 图 2 3 例 如图 3 1 已知在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 是点 A 关于 原点的对称点 P 是函数 0 2 x x y图象上的一点 且 ABP 是直角三角形 求点 P 的坐 标 图 3 1 解析 A B 两点是确定的 以线段 AB 为分类标准 分三种情况 如果线段 AB 为直角边 那么过点 A 画 AB 的垂线 与第一象限内的一支双曲线没有交 点 过点 B 画 AB 的垂线 有 1 个交点 以 AB 为直径画圆 圆与双曲线

6、有没有交点呢 先假如有交点 再列方程 方程有解那 4 MN1 MA1 MB 卢老师编制 微信 lubiao551184 么就有交点 如果是一元二次方程 那么可能是一个交点 也可能是两个交点 由题意 得点 B 的坐标为 2 0 且 BAP 不可能成为直角 如图 3 2 当 ABP 90 时 点 P 的坐标为 2 1 方法一 如图 3 3 当 APB 90 时 OP 是 Rt APB 的斜边上的中线 OP 2 设 P 2 x x 由 OP2 4 得 2 2 4 4x x 解得2x 此时 P 2 2 图 3 2 图 3 3 方法二 由勾股定理 得 PA2 PB2 AB2 解方程 22222 22 2

7、 2 4xx xx 得2x 方法三 如图 3 4 由 AHP PHB 得 PH2 AH BH 解方程 2 2 2 2 xx x 得2x 图 3 4 图 3 5 这三种解法的方程貌似差异很大 转化为整式方程之后都是 x2 2 2 0 这个四次方程 的解是 x1 x2 2 x3 x4 2 它的几何意义就是以 AB 为直径的圆与双曲线相切于 P P 两点 如图 3 5 例 如图 4 1 已知直线 y kx 6 经过点 A 1 4 与 x 轴相交于点 B 若点 Q 是 y 轴上一点 且 ABQ 为直角三角形 求点 Q 的坐标 图 4 1 卢老师编制 微信 lubiao551184 解析 和例题 3 一

8、样 过 A B 两点分别画 AB 的垂线 各有 1 个点 Q 和例题 3 不同 以 AB 为直径画圆 圆与 y 轴有没有交点 一目了然 而圆与双曲线有 没有交点 是徒手画双曲线无法肯定的 将 A 1 4 代入 y kx 6 可得 k 2 所以 y 2x 6 B 3 0 设 OQ 的长为 m 分三种情况讨论直角三角形 ABQ 如图 4 2 当 AQB 90 时 BOQ QHA BOQH OQHA 所以 34 1 m m 解得 m 1 或 m 3 所以 Q 0 1 或 0 3 如图 4 3 当 BAQ 90 时 QHA AGB QHAG HAGB 所以 42 14 m 解得 7 2 m 此时 7

9、0 2 Q 如图 4 4 当 ABQ 90 时 AGB BMQ AGBM GBMQ 所以 2 43 m 解得 3 2 m 此时 3 0 2 Q 图 4 2 图 4 3 图 4 4 三种情况的直角三角形 ABQ 直角边都不与坐标轴平行 我们以直角顶点为公共顶点 构造两个相似的直角三角形 这样列比例方程比较简便 已知 A 1 4 B 3 0 设 Q 0 n 那么根据两点间的距离公式可以表示出 AB2 AQ2 和 BQ2 再按照斜边为分类标准列方程 就不用画图进行 盲解 了 例 如图 5 1 抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 若 直线 l 过

10、点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只 有 三个时 求直线 l 的解析式 图 5 1 解析 有且只有三个直角三角形 ABM 是什么意思呢 卢老师编制 微信 lubiao551184 过 A B 两点分别画 AB 的垂线 与直线 l 各有一个交点 那么第三个直角顶点 M 在哪 里 以 AB 为直径的 G 与直线 l 相切于点 M 啊 由 2 333 3 4 2 848 yxxxx 得 A 4 0 B 2 0 直径 AB 6 如图 5 2 连结 GM 那么 GM l 在 Rt EGM 中 GM 3 GE 5 所以 EM 4 因此 3 tan 4 G

11、EM 设直线 l 与 y 轴交于点 C 那么 OC 3 所以直线 l 直线 EC 为 3 3 4 yx 根据对称性 直线 l 还可以是 3 3 4 yx 图 5 2 例 如图 6 1 在 ABC 中 CA CB AB 8 4 cos 5 A 点 D 是 AB 边上的一个 动点 点 E 与点 A 关于直线 CD 对称 连结 CE DE 1 求底边 AB 上的高 2 设 CE 与 AB 交于点 F 当 ACF 为直角三角形时 求 AD 的长 3 连结 AE 当 ADE 是直角三角形时 求 AD 的长 图 6 1 解析 这道题目画示意图有技巧的 如果将点D看作主动点 那么CE就是从动线段 反 过来画

12、图 点 E 在以 CA 为半径的 C 上 如果把点 E 看作主动点 再画 ACE 的平分线 就产生点 D 了 1 如图 6 2 设 AB 边上的高为 CH 那么 AH BH 4 在 Rt ACH 中 AH 4 4 cos 5 A 所以 AC 5 CH 3 2 如图 6 3 当 AFC 90 时 F 是 AB 的中点 AF 4 CF 3 在 Rt DEF 中 EF CE CF 2 4 cos 5 E 所以 5 2 DE 此时 5 2 ADDE 卢老师编制 微信 lubiao551184 如图 6 4 当 ACF 90 时 ACD 45 那么 ACD 的条件符合 角边角 作 DG AC 垂足为 G

13、 设 DG CG 3m 那么 AD 5m AG 4m 由 CA 5 得 7m 5 解得 5 7 m 此时 25 5 7 ADm 图 6 2 图 6 3 图 6 4 3 因为 DA DE 所以只存在 ADE 90 的情况 如图 6 5 当 E 在 AB 下方时 根据对称性 知 CDA CDE 135 此时 CDH 是等腰直角三角形 DH CH 3 所以 AD AH DH 1 如图 6 6 当 E 在 AB 上方时 根据对称性 知 CDA CDE 45 此时 CDH 是等腰直角三角形 DH CH 3 所以 AD AH DH 7 图 6 5 图 6 6 卢老师编制 微信 lubiao551184 因

14、动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题 1 已知线段 AB 以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的轨迹是 什么 2 已知线段 AB 以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的轨迹是什 么 3 已知点 A 4 0 如果 OAB 是等腰直角三角形 求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1 点 C 在垂线上 垂足除外 如图 2 点 C 在以 AB 为直径的圆上 A B 两点除 外 如图 3 以 OA 为边画两个正方形 除了 O A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点 都是符合题意的点 B 共

15、 6 个 解直角三角形的存在性问题 一般分三步走 第一步寻找分类标准 第二步列方程 第 三步解方程并验根 一般情况下 按照直角顶点或者斜边分类 然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题 常常和相似三角形 三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线 可以构造两个新 的相似直角三角形 这样列比例方程比较简便 如图 4 已知 A 3 0 B 1 4 如果直角三角形 ABC 的顶 点 C 在 y 轴上 求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法 作 AB 为直径的圆 快速找到两个 符合条件的点 C

16、 如果作 BD y 轴于 D 那么 AOC CDB 设 OC m 那么 34 1 m m 这 个 方 程 有 两 个 解 分 别 对 应 图 中 圆 与y轴 的 两 个 交 点 图 4 卢老师编制 微信 lubiao551184 例 19 2015 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1 已知抛物线 E1 y x2经过点 A 1 m 以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B 2 2 点 A B 关于 y 轴的对称点分别为点 A B 1 求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式 2 如图 1 在第一象限内 抛物线 E1上是否存在点 Q 使得以点 Q B B 为顶点 的三角形为直角三角形 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点 连结 OP 并延长与 抛物线 E2相交于点 P 求 PAA 与 P BB 的面积之比 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 15 益阳 21 拖动点 P 在抛物线 E1上运动 可以体验到 点 P 始终是线段 OP 的中点 还可以体验到 直角三角形 QBB 有两个 思路点