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1、第五章 平面向量与空间向量考点阐释1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化.试题类编一、选择题1.（2002春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）c=ac+bcC.m（
2、a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A.3x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0 D.x+2y5=03.（2001、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），则向量2ba的坐标是（ ）A.（3，4） B.（3，4） C.（3，4） D.（3，4）4.（2001、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）图51A. B. C.3 D.35.（2001）如图51，在
3、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c6.（2001、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），则c等于（ ）A.a+b B.ab C. ab D.a+b7.(2000、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|0）.如图52.（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；（2）若m=n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.17.（2002春，19）如图53，三棱柱OABO1A
4、1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）18.（2002，17）如图54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图5519.（2002天津文9，理18）如图55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2）
5、求AC1与侧面ABB1A1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan.21.（2001、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED.图56 图57 图5822.（2001春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且
6、AEA1B，AFA1D.（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）23.（2001）在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图58.（1）求证：AFCE.（2）当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000春，21）四棱锥PA
7、BCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定义一种运算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.25.（2000，18）如图59所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，
8、求四面体ABCD的体积.图59 图510 图51126.（2000天津、）如图510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.27.（2000全国理，18）如图511，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60.（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.图51228.（1999，20）如
9、图512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.图51329.（1995，21）如图513在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30。（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.答案解析1.答案：D解析：因为（ab）c=|a|b|cosc而a（bc）=|b|c|cosa而c方向与a方向不一定同向.评述：向量的积运算不满足结
10、合律.2.答案：D解析：设=（x，y），=（3，1），=（1，3），=（3，），=（，3）又+=（3，+3）（x，y）=（3，+3），又+=1 因此可得x+2y=5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3.答案：D解析：设（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案：B解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB所在直线方程为y=k（x），则=x1x2+y1y2.又，得k2x2（k2+2）x+=0，x1x2=，而y1y2=k（x1）k（x2）=k2（x1）（x2）=1.x1x2+y1y2=1=.解法二：因为直线AB是过焦点的
11、弦，所以y1y2=p2=1.x1x2同上.评述：本题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.5.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.6.答案：B解析：设c=ma+nb，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案：D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立.故真.评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.8.答案：A解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.k=.评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案：13解析：（2ab）a=2a2b
