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1、2018年04月28日187*6232的初中数学组卷一解答题（共5小题）1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0），点B（3，0）和点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；（2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）
2、若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由3如图，抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴
3、交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值；
4、（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由5如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2018年04月28日187*6232的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共5小题）1如图，已知抛物线y=ax
5、2+bx+c经过点A（1，0），点B（3，0）和点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；（2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值即可；（2）根据勾股定理的逆定理可得：BCE=90，可得结论；（3）分两种情况：以BC为边时，如图1，R在对称轴的右侧时，BCRQ，四边形CQRB是平行四边形
6、，根据平移规律先得R的横坐标为4，代入抛物线的解析式可得R（4，5），由平移规律可得Q（1，2）；如图2，R在对称轴的左侧，RCBQ，四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标以BC为对角线时，如图3，同理根据平移规律可得结论【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，故这个抛物线的解析式为y=x2+2x+3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点E（1，4）；（2）点C在以BE为直径的圆上，理由是：C（0，3），B（3，0），E（1，4），BC2=32+32=18，CE2=12+12=2，BE2=（31）2+42=20，BC2+CE2=BE2，BCE=90，点C在以BE为直径的圆上；（
7、3）存在，分两种情况：以BC为边时，如图1，R在对称轴的右侧时，BCRQ，四边形CQRB是平行四边形，由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为4，当x=4时，y=x2+2x+3=42+24+3=16+8+3=5，R（4，5），Q（1，2）；如图2，R在对称轴的左侧，RCBQ，四边形CRQB是平行四边形，由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为2，当x=2时，y=x2+2x+3=4+2（2）+3=5，R（2，5），Q（1，8）；以BC为对角线时，如图3，由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2，当x=2时，y=4+4+3=3，R（2，3），根据R到B的平移规律可得：Q（
8、1，0）；综上所述，R（4，5），Q（1，2）或R（2，5），Q（1，8）或R（2，3），Q（1，0）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理，勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F
9、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B，连接BD，BD与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（4）设出点E的，分情况讨论，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标【解答】解：（1）将A，B，C点
10、的坐标代入解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x22x+3（2）配方，得y=（x+1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）作B点关于直线x=1的对称点B，如图1，则B（4，3），由（1）得D（1，4），可求出直线DB的函数关系式为y=x+，当M（1，m）在直线DB上时，MN+MD的值最小，则m=1+=（3）作PEx轴交AC于E点，如图2，AC的解析式为y=x+3，设P（m，m22m+3），E（m，m+3），PE=m22m+3（m+3）=m23mSAPC=PE|xA|=（m23m）3=（m+）2+，当m=时，APC的面积的最大值是；（4）由（1）、（2）得D（1，4），N（1，2）点E在直线AC上
11、，设E（x，x+3），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x22x+3），EF=DNx22x+3（x+3）=42=2，解得，x=2或x=1（舍去），则点E的坐标为：（2，1）当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x22x+3），EF=DN，（x+3）（x22x+3）=2，解得x=或x=，即点E的坐标为：（，）或（，）综上可得满足条件的点E为E（2，1）或：（，）或（，）【点评】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，
12、要分类讨论，以防遗漏3如图，抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边
13、形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）令抛物线y=x22x3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；（2）设P点的横坐标为x（1x2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出ACE的面积最大值；（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（0，1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；（4）结合图形，分两类进行讨论，CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；CF不平
14、行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标【解答】解：（1）令y=0，解得x1=1或x2=3，A（1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入y=x22x3得y=3，C（2，3），直线AC的函数解析式是y=x1，（2）设P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（x，x22x3），P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，当x=时，PE的最大值=，ACE的面积最大值=PE2（1）=PE=，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（0，1）点关于x轴的对称点为K（0，1），连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，最小值=|CM|+QD=2+2，求得M（1，1），N（，0）（4）存在如图1，若AFCH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，于是可得F1（1，0），F2（3，0），如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，再根据|HA|=|CF|，求出F4（4，0），F3综上所述，满足条件的F点坐标为F1（1，0），F2（3，0），F3，F4（4，0）【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论
