《2013年高考数学(理科)一轮复习课件第37讲：数列的基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学(理科)一轮复习课件第37讲：数列的基本概念（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 数列 主讲人 北京市特级教师吴万辉15101602618 第37讲 数列的基本概念 1 数列的定义 一定顺序排列的一列数 按照 称为数列 数列中的每个数称为该数列的项 数列可以看作是定义域为N 的非空子集的函数 其图象是一群孤立的点 2 数列的表示方法 解析法 递推法 图象法 列举法 3 数列的分类 1 数列按项数的多少分为 有穷数列 无穷数列 2 数列按前后项的大小来分 递增数列 对于任何n N 均有 递减数列 对于任何n N 均有 摆动数列 例如 1 1 1 1 1 常数数列 例如 6 6 6 6 4 通项公式 序号 如果数列 an 的第n项与 之间可以用一个式子表示 那么这个公式
2、叫做这个数列的通项公式 即an f n 并不是每个数列都有通项公式 有通项公式的数列 其通项公式也不一定唯一 an 1 an an 1 an 5 递推公式 6 数列的前n项和与通项的公式 1 Sn 2 an 如果已知数列 an 的第一项 或前几项 且任何一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个式子来表示 即an f an 1 或an f an 1 an 2 那么这个式子叫做数列 an 的递推公式 如数列 an 中 a1 1 an 2an 1 1 其中an 2an 1 1是数列 an 的递推公式 a1 a2 an 1 数列1 2 4 8 16 32 的一个通项公式是 B B A
3、 an 2n 1B an 2n 1C an 2nD an 2n 1 3 已知数列 an 的前六项为1 1 2 1 6 1 12 1 20 则该数列的一个通项公式 C A 1 n n 1 C 1 n n 1 B 1 2nD 以上都不是 4 下列对数列的理解有四种 数列可以看成一个定义在N 或它的有限子集 1 2 3 n 上的函数 数列的项数是有限的 数列若用图象表示 从图象上看都是一群孤立的点 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的是 填序号 5 如图9 1 1 第一个图中有1个 第二个图中有3个 第三个图中有7个 按照此规律 第5个图中的 数目是 图9 1 1 21 考点1由数列的前几项写数列
4、的通项公式例1 分别写出下列数列的一个通项公式 数列的前4项已给出 对于一个公式能否成为一个给出的前n项的数列的 通项公式 需逐项加以验证 缺一不可 根据数列 an 的前n项求其通项公式 一般不唯一 我们常常取其形式上较简便的一个即可 另外 求通项公式 一般可通过观察数列中各项的特点 进行分析 概括 然后得出结论 必要时可加以验证 已知数列的前几项求通项公式 主要从以下几个方面来考虑 负号用 1 n与 1 n 1 或 1 n 1 来调节 这是因为n与n 1奇偶交错 分数形式的数列 分子找通项 分母找通项 要充分借助 分子 分母的关系 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数列 后 面专
5、门学习 和其他方法解决 此类问题虽无固定模式 但也有其规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 互动探究 1 已知数列的 an 的前四项分别为1 0 1 0 则下列各式可作 为数列 an 的通项公式的个数有 答案 C 解析 对于 将n 3代入 a3 3 1 故 不是 an 的通项公式 由三角公式知 和 实质上是一样的 不难验证 它们是已知数列1 0 1 0的通项公式 对于 易看出 它不是数列 an 的通项公式 显然是数列 an 的通项公式 综上可知 数列 an 的通项公式有三个 即有三种表示形式 2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来
6、研究数 如 图9 1 2 图9 1 2 他们研究过图9 1 2 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图9 1 2 2 中的1 4 9 16 这样的数成为正方形数 下列数中既是三角形数又是 正方形数的是 A 289C 1225 B 1024D 1378 C 考点2 由递推关系式求数列的通项公式 例2 已知数列 an 满足an 1 2an 1 n N 1 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测数列的通项公式 2 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测数列的通项公式 解析 1 a1 a2 a3 a4 1 可推测数列 an 的通项公式an 1 2 a1 1
7、 a2 2 1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 可推测数列 an 的通项公式为an 2n 1 数列的递推公式是由递推关系式 递推 和首项 基础 两个因素所确定的 即便递推关系完全一样 而首项不同就可得到两个不同的数列 适当配凑是本题进行归纳的前提 加强类比是探索某些规律的常用方法之一 互动探究 15 3 数列 an 的构成法则如下 a1 1 如果an 2为自然数且该自然数之前未出现过 则用递推公式an 1 an 2 否则用递推公式an 1 3an 则a6 解析 a1 2 1 N a2 3a1 3 a2 2 1 a1 a3 3a2 9 a3 2 7 a4 7 a4 2 5
8、a5 5 a5 2 3 a2 a6 3a5 15 考点3利用an与Sn的关系式求通项公式 例3 已知数列 an 的前n项和为Sn 按照下列条件求数列的 通项公式 1 若Sn 2n2 n 求数列 an 的通项公式 2 若Sn n2 n 1 求数列 an 的通项公式 解析 1 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 经检验n 1时 a1 1也适合an 4n 3 所以数列 an 的通项公式是an 4n 3 已知an求Sn时方法多种多样 但已知Sn求an的方法却是高度统一 化简关系式用Sn表示出an是关键 当n 2时 若由an Sn Sn 1求出的a
9、n对n 1也成立 则an Sn Sn 1 否则就分段表示 互动探究 A 4 2011年四川 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 则a6 A 3 44B 3 4C 44D 45 解析 由an 1 3Sn 得an 3Sn 1 n 2 相减得an 1 an 3 Sn Sn 1 3an 则an 1 4an n 2 a1 1 a2 3 则a6 a2 44 3 44 选A 注意 本题是从第二项起为等比数列 思想与方法 12 用函数的思想探讨数列的单调性 例题 已知单调数列 an 中 an n2 kn n N 求k的取值 范围 解析 an n2 kn n N an 1 an
10、n 1 2 k n 1 n2 kn 2n 1 k 数列 an 单调递增 an 1 an 0 即2n 1 k 0恒成立 k 2n 1 则k 3 其定义域为正整数集 若数列 an 递增 则必有 1 故k 2 k2 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别 即数列所对应的函数单调 则数列一定单调 反之 若数列单调 其所对应的函数不一定单调 关键是数列是定义域为正整数集的特殊函数 所以 数列的单调性一般要通过比较an 1与an的大小来判断 若an 1 an 则数列为递增数列 若an 1 an 则数列为递减数列 解本题易出现的错误是由an是关于n的二次函数 1 根据数列的前几项 用归纳法写出一个通项公式 体现了由特殊到一般的思想方法 考查了基本的数学分析能力和观察能力 熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果 一般步骤为 1 分数中的分子与分母的特点 2 相邻项的变化规律 3 各项的符号特征 4 拆项后的变化规律 并对此进行归纳 化归 展开联想 在根据数列的前几项写数列的通项公式时 要注意有些数列的通项公式并不是唯一的 在利用Sn求an时 一定要验证n 1与n 2时能否统一到一个式子中 数列是特殊的函数 自变量为正整数 其单调性的判断与函数单调性的判断并不完全相同
