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1、函数一、选择题1下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)上单调递减的函数是()Ayx2Byx1Cyx2 Dyx解析:选A.yx1和yx都是奇函数,故B、D错误又yx2虽为偶函数,但在(0,)上为增函数,故C错误yx2在(0,)上为减函数,且为偶函数,故A满足题意2函数f(x)图象的对称中心为()A(0,0) B(0,1)C(1,0) D(1,1)解析:选B.由于f(x)1的图象可看作是将函数y的图象向上平移一个单位长度所得到的,而函数y是奇函数,其图象关于原点对称,因此f(x)1的图象的对称中心是点(0,1),选B.3已知f(x),则下列函数的图象错误的是()解析:选D.先在坐标平面内画出函数
2、yf(x)的图象,再将函数yf(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到yf(x1)的图象,因此A正确;作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到yf(x)的图象,因此B正确;yf(x)的值域是0,2,因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合,C正确;yf(|x|)的定义域是1,1,且是一个偶函数,当0x1时,yf(|x|),相应这部分图象不是一条线段,因此选项D不正确综上所述,选D.4(2020年高考湖北卷)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0,且a1)若g(2)a,则f(2)()A2 B.C. Da2解析:选B.f(x)是奇函数,g
3、(x)是偶函数,由f(x)g(x)axax2,得f(x)g(x)axax2,得g(x)2,得f(x)axax.又g(2)a,a2,f(x)2x2x,f(2)2222.5(2020年高考山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)x3x,则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9解析:选B.f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0x2时,f(x)x3xx(x1)(x1),当0x2时,f(x)0有两个根,即x10,x21.由周期函数的性质知,当2x4时,f(x)0有两个根,即x32,x43;当4x0时,抛物线开口方向向上,由yma
4、xf(3)9a6a3a3,得a1;当a1时,试判断f(x)在区间(0,1上的单调性并证明你的结论解:(1)设x(0,1,则x1,0),f(x)2ax.f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)2ax,x(0,1(2)f(x)2a2.a1,x(0,1,1,a0.f(x)0,f(x)在区间(0,1上是单调递增的10已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若f(1)0,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x1,x2R,且x10,函数f(x)有两个零点(2)证明:令g(x)f(x)f(x1)f(x2),则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2),g(x2)f(x2)f(x1)f(x2),g(x1)
5、g(x2)f(x1)f(x2)20.(f(x1)f(x2)g(x)0在(x1,x2)内必有一个实根,即x0(x1,x2),使f(x0)f(x1)f(x2)成立11为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元若该项目不获利,国家将给予补偿(1)当x200,300时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每
6、月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?解:(1)当x200,300时,设该项目获利为S,则S200xx2400x80000(x400)2.所以当x200,300时,S0.因此,该项目不会获利当x300时,S取得最大值5000,所以国家每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损(2)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:.当x120,144)时,x280x5040(x120)2240,当x120时,取得最小值240;当x144,500)时,x200 2 200200,当且仅当x,即x400时,取得最小值200.200240.当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低