《2020届高三数学一轮复习必备精品：数列（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三数学一轮复习必备精品：数列（通用）（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章第九章 数列数列 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并 能根据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 并能解决简单的实 际问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并能解决简单的实际 问题 数列基础知识 定义 项 通项 数列表示法 数列分类 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 特殊数列 其他特殊数列求和 数列 纵观近几年高考试题 对数列的考查已从最低谷走出 估计以后几年对数列的考查的 比重仍不会减小 等差 等比数列的概念 性质 通项公式 前
2、n 项和公式的应用是必考内 容 数列与函数 三角 解析几何 组合数的综合应用问题是命题热点 从解题思想方法的规律着眼 主要有 方程思想的应用 利用公式列方程 组 例如等差 等比数列中的 知三求二 问题 函数思想方法的应用 图像 单调性 最值等问题 待定系数法 分类讨论等方法的应用 第第 1 课时课时 数列的概念数列的概念 1 数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数 在函数意义下 数列是定义域为正整 数 N 或其子集 1 2 3 n 的函数 f n 数列的一般形式为 a1 a2 an 简记为 an 其中 an是数列 an 的第 项 2 数列的通项公式 一个数列 an 的 与 之间的函数关系
3、如果可用一个公式 an f n 来表示 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3 在数列 an 中 前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 n a 2 1 n n an 4 求数列的通项公式的其它方法 公式法 等差数列与等比数列采用首项与公差 公比 确定的方法 观察归纳法 先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化 哪些因素不变 初步归纳出公式 再取 n 的特珠值进行检验 最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法 先观察数列相邻项间的递推关系 将它们一般化 得到的数列普遍的递推 关系 再通过代数方法由递推关系求出通
4、项公式 例例 1 根据下面各数列的前 n 项的值 写出数列的一个通项公式 31 2 53 4 75 8 97 16 1 2 6 13 23 36 1 1 2 2 3 3 解 解 an 1 n 12 12 12 nn n an 673 2 1 2 nn 提示 a2 a1 1 a3 a2 4 a4 a3 7 a5 a4 10 an an 1 1 3 n 2 3n 5 各式相加得 673 2 1 43 1 2 1 1 53 10741 1 2 nn nn nan 将 1 1 2 2 3 3 变形为 2 13 2 02 2 11 2 06 2 15 2 04 4 1 12 2 2 1 1 1 1 n
5、n n n n a 变式训练变式训练 1 某数列 an 的前四项为 0 0 则以下各式 22 an 1 1 n an 2 2 n 11 an 0 2 为为为 为为为 n n 其中可作为 an 的通项公式的是 A B C D 典型例题典型例题 解解 D 例例 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 求通项 Sn 3n 2 Sn n2 3n 1 解解 an Sn Sn 1 n 2 a1 S1 解得 an 1 1 2 32 1 n n n an 2 22 1 5 nn n 变式训练变式训练 2 已知数列 an 的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg Sn 1 n n N 则数列 an 的 通项公式
6、为 解 解 当 n 1 时 a1 S1 11 当 n 2 时 110101 1lg n n n nn SSnS an Sn Sn 1 10n 10n 1 9 10 n 1 故 an 2 109 1 11 1 n n n 例例 3 根据下面数列 an 的首项和递推关系 探求其通项公式 a1 1 an 2an 1 1 n 2 a1 1 an n 2 1 1 3 n n a a1 1 an n 2 1 1 n a n n 解 解 an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 n 2 a1 1 2 故 a1 1 2n an 2n 1 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1
7、 a1 3n 1 3n 2 33 3 1 13 2 1 n 3 n n a a n n 1 1 an 1 21 1 1 2 3 2 2 1 1 n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n1 1 2 1 2 3 变式训练变式训练 3 已知数列 an 中 a1 1 an 1 n N 求该数列的通项公式 2 2 n n a a 解 方法一解 方法一 由 an 1 得 2 2 n n a a 是以为首项 为公差的等差数列 2 111 1 nn aa n a 1 1 1 1 a2 1 1 n 1 即 an n a 1 2 1 1 2 n 方法二 方法二 求出前
8、5 项 归纳猜想出 an 然后用数学归纳证明 1 2 n 例例 4 已知函数 2x 2 x 数列 an 满足 2n 求数列 an 通项公式 xf log2 n af 解 解 naf n a n a n 222 log 2 log 2 log 2 得n a a n n 2 1 nnan 1 2 变式训练变式训练 4 知数列 an 的首项 a1 5 前 n 项和为 Sn且 Sn 1 2Sn n 5 n N 1 证明数列 an 1 是等比数列 2 令 f x a1x a2x2 anxn 求函数 f x 在点 x 1 处导数 f 1 1 解 解 1 由已知 Sn 1 2Sn n 5 n 2 时 Sn
9、2Sn 1 n 4 两式相减 得 Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 1 即 an 1 2an 1 从而 an 1 1 2 an 1 当 n 1 时 S2 2S1 1 5 a1 a2 2a1 6 又 a1 5 a2 11 2 即 an 1 是以 a1 1 6 为首项 2 为公比的等比数列 1 1 1 n n a a 2 由 1 知 an 3 2n 1 a1x a2x2 anxn xf a1 2a2x nanxn 1 xf 从而 a1 2a2 nan 1 f 3 2 1 2 3 22 1 n 3 2n 1 3 2 2 22 n 2n 1 2 n 3 n 2n 1 2 2n 2 1 nn 3 n
10、1 2n 1 6 2 1 nn 1 根据数列的前几项 写出它的一个通项公式 关键在于找出这些项与项数之间的关系 常用的方法有观察法 通项法 转化为特殊数列法等 2 由 Sn求 an时 用公式 an Sn Sn 1要注意 n 2 这个条件 a1应由 a1 S1来确定 最后看 二者能否统一 3 由递推公式求通项公式的常见形式有 an 1 an f n f n an 1 pan q 分别 n n a a 1 用累加法 累乘法 迭代法 或换元法 第第 2 课时课时 等差数列等差数列 1 等差数列的定义 d d 为常数 2 等差数列的通项公式 an a1 d an am d 3 等差数列的前 n 项和公
11、式 Sn 4 等差中项 如果 a b c 成等差数列 则 b 叫做 a 与 c 的等差中项 即 b 基础过关基础过关 归纳小结归纳小结 5 数列 an 是等差数列的两个充要条件是 数列 an 的通项公式可写成 an pn q p q R 数列 an 的前 n 项和公式可写成 Sn an2 bn a b R 6 等差数列 an 的两个重要性质 m n p q N 若 m n p q 则 数列 an 的前 n 项和为 Sn S2n Sn S3n S2n成 数列 例例 1 在等差数列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3
12、已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 解解 1 方法一 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60 a1 59d 130 方法二 由 an am n m da60 a45 60 45 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn d 90 15 130 3 8 2 不妨设 Sn An2 Bn 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn 2n2 17n S28 2 282 17 28 1092 3 S6 S5 a6 5 10 15 又 S6 2 10 6 2 6 161 aaa 15 即 a1 5 2
13、10 6 1 a 而 d 3 16 16 aa a8 a6 2 d 16 S8 44 2 8 81 aa 变式训练变式训练 1 在等差数列 an 中 a5 3 a6 2 则 a4 a5 a10 解 解 d a6 a5 5 a4 a5 a10 49 2 7 2 7 5 104 da aa 例例 2 已知数列 an 满足 a1 2a an 2a n 2 其中 a 是不为 0 的常数 令 bn 1 2 n a a 典型例题典型例题 aan 1 求证 数列 bn 是等差数列 求数列 an 的通项公式 解 解 an 2a n 2 1 2 n a a bn n 2 11 1 1 1 2 aaa a a a
14、 a aa n n n n bn bn 1 n 2 aaaaaa a nn n 11 11 1 数列 bn 是公差为的等差数列 a 1 b1 aa 1 1 a 1 故由 得 bn n 1 a 1 a 1 a n 即 得 an a 1 aan 1 a n n 1 变式训练变式训练 2 已知公比为 3 的等比数列与数列满足 且 n b n a 3Nnb n a n 1 1 a 1 判断是何种数列 并给出证明 n a 2 若 求数列的前 n 项和 1 1 nn n aa C n C 解 解 1 即 为等差数列 1 1 1 1 3 33 1 3 n nn n a aan nn a n b aa b n
15、 a 2 11111 111111 1 1 nn nnnnnn n CS na aaaaaa 例例 3 已知 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 n Sn 前 n 项和 求 Tn 解 解 设 an 首项为 a1公差为 d 由 75 2 1415 15 7 2 67 7 115 17 daS daS 1 2 1 d a Sn nn 2 5 2 1 2 2 5 2 1 n n Sn Tn 3 1 1 S nn 4 11 4 1 2 变式训练变式训练 3 两等差数列 an bn 的前 n 项和的比 则的值是 53 27 n n Sn Sn 5
16、 5 a b A B C D 28 17 48 25 53 27 23 15 解 解 B 解析 19 559 559 19 9 248 2 9 252 2 aa aaS bbS bb 例例 4 美国某公司给员工加工资有两个方案 一是每年年末加 1000 美元 二是每半年结束时 加 300 美元 问 从第几年开始 第二种方案比第一种方案总共加的工资多 如果在该公司干 10 年 问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元 问 a 取何值时 总是选择第二种方案比第一种方案多加工资 解解 设工作年数为 n n N 第一种方案总共加的工资为 S1 第二种方案总共加的工资 为 S2 则 S1 1000 1 1000 2 1000 3 1000n 500 n 1 n S2 300 1 300 2 300 3 300 2n 300 2n 1 n 由 S2 S1 即 300 2n 1 n 500 n 1 n 解得 n 2 从第 3 年开始 第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当 n 10 时 由 得 S1 500 10 11 5500
