《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第33讲等差、等比数列的性质及综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第33讲等差、等比数列的性质及综合应用（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 第五单元数列 推理与证明 3 第33讲 等差 等比数列的性质及综合应用 4 掌握等差 等比数列的基本性质 如 成对 和或积相等问题 等差数列求和S2n 1与中项an 能灵活运用性质解决有关问题 如分组求和技巧 整体运算 5 1 在等差数列 an 与等比数列 bn 中 下列结论正确的是 C A a1 a9 a10 b1 b9 b10B a1 a9 a3 a6 b1 b9 b3 b6C a1 a9 a4 a6 b1 b9 b4 b6D a1 a9 2a5 b1 b9 2b5 当m n p q时 等差数列中有am an ap aq 等比数列中有bm bn bp bq 6 2 已知等比数列 a
2、n 中 有a3a11 4a7 数列 bn 是等差数列 且b7 a7 则b5 b9等于 C A 2B 4C 8D 16 因为a3a11 a72 4a7 因为a7 0 所以a7 4 所以b7 4 因为 bn 为等差数列 所以b5 b9 2b7 8 故选C 7 3 命题 若数列 an 的前n项和Sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题 若数列 an 的前n项和Sn an2 bn c a 0 则数列 an 是等差数列 命题 若数列 an 的前n项和Sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述三个命题中 真命题有 A A 0个B 1个C 2个D 3个 8 由命题 得 a1
3、 a b 当n 时 an Sn Sn 1 a 1 an 1 若 an 是等比 数列则 a 即 a 所以只有当b 1且a 0时 此数列才是等比数列 由命题 得 a1 a b c 当n 时 an Sn Sn 1 2na b a 若 an 是等差数列 则a2 a1 2a 即2a c 2a 所以只有当c 0时 数列 an 才是等差数列 由命题 得 a1 a 1 当n 时 an Sn Sn 1 a 1 显然 an 是一个常数列 即公差为0的等差数列 因此只有当a 1 0 即a 时 数列 an 才又是等比数列 9 4 1 等差数列的前n项的和为54 前2n项的和为60 则前3n项的和为 2 等比数列的前n
4、项和为54 前2n项的和为60 则前3n项的和为 18 60 1 由等差数列性质 Sn S2n Sn S3n S2n成等差数列 则2 S2n Sn Sn S3n S2n 解得S3n 18 2 由等比数列性质 Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 则 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 解得S3n 60 10 5 已知数列 an bn 分别为等差 等比数列 且a1 b1 0 a3 b3 b1 b3 则一定有a2b2 a5b5 填 方法一 由中项性质和等比数列性质知b1 0 b3 0 又b1 b3 a2 b2 故a2 b2 同理 a5 2a3 a1 b5 所以b5 a5 2b3 b1
5、0 即b5 a5 11 方法二 通项与函数关系 因为an dn a1 d 为关于n的一次函数 bn a1 qn 1 qn为关于n的类指数函数 当d 0 如图1 当db2 a5 b5 12 1 等差数列的性质 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是关于n的一次函数 且斜率为公差d 前n项和Sn na1 n2 a1 n是关于n的二次函数 且常数项为0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 d 0 d 0 d 0 13 3 当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an 2ap 4 若 an 是等差数列
6、 则 kan k是非零常数 Sn S2n Sn S3n S2n 也成等差数列 而 aan a 0 成等比数列 若 an 是等比数列 且an 0 则 lgan 是等差数列 5 在等差数列 an 中 当项数为偶数2n时 S偶 S奇 项数为奇数2n 1时 S奇 S偶 S2n 1 2n 1 a中 这里a中即an S奇 S偶 k 1 k am an ap aq nd a中 14 6 若等差数列 an bn 的前n项和分别为An Bn 且 f n 则 f 2n 1 7 首正 的递减等差数列中 前n项和的最大值是所有 之和 首负 的递增等差数列中 前n项和的最小值是所有 之和 8 如果两等差数列有公共项 那
7、么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 非负项 非正项 15 2 等比数列的性质 1 当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an ap2 2 若 an 是等比数列 则 kan 成等比数列 若 an bn 成等比数列 则 anbn 成等比数列 若 an 是等比数列 且公比q 1 则数列Sn S2n Sn S3n S2n 也是 数列 当q 1 且n为偶数时 数列Sn S2n Sn S3n S2n 是常数数列0 它不是等比数列 am an ap aq 等比 16 3 若a1 0 q 1 则 an 为数列 若a11 则 a
8、n 为数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递减数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递增数列 若q 0 则 an 为摆动数列 若q 1 则 an 为数列 4 当q 时 Sn qn aqn b 这里a b 0 但a 0 b 0 这是等比数列前n项和公式的一个特征 据此很容易根据Sn判断数列 an 是否为等比数列 递增 递减 常 17 5 Sm n Sm qmSn Sn qnSm 6 在等比数列 an 中 当项数为偶数2n时 S偶 项数为奇数2n 1时 S奇 a1 qS偶 7 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列 那么数列 an 是非零常数数列 故常数数列 an 仅是此数列既成等差数
9、列又成等比数列的必要非充分条件 qS奇 18 题型一 成对下标和 性质 例1 1 已知数列 n 为等差数列 且 1 8 15 2 则tan 2 14 的值是 A B C D A 19 2 2009 广东卷 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2 1 因为 1 8 15 2 且 n 成等差数列 则 1 15 2 8 故 8 于是tan 2 14 tan2 8 tan C 20 2 因为a5 a2n 5 22n n 3 且 an 成等比数列
10、 则a1 a2n 1 a3 a2n 3 a5 a2n 5 22n an2 令S log2a1 log2a3 log2a2n 1 则S log2a2n 1 log2a3 log2a1 所以2S log2 a1 a2n 1 a3 a2n 3 a2n 3 a3 a2n 1 a1 log2 22n n 所以2S 2n n 所以S n2 21 本题是等差 等比的求值题 难点是找条件和目标之间的对应关系 解题时 根据等差 等比数列的 成对下标和 性质 列出方程或多个恒等式是解题的关键 一般的 对于涉及等差 等比数列的通项公式的条件求值题 合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法 22 2010 湖北省模拟
11、 设数列 an bn 都是正项等比数列 Sn Tn分别为数列 lgan 与 lgbn 的前n项和 且 则logb5a5 由题知 logb5a5 logb5a5 23 题型二部分 和 积 与整体性质 例2 1 等差数列 an 中 a9 a10 a a19 a20 b 求a99 a100 2 在等比数列 an 中 若a1 a2 a3 a4 1 a13 a14 a15 a16 8 求a41 a42 a43 a44 24 1 将相邻两项和a1 a2 a3 a4 a5 a6 a99 a100分别记为b1 b2 b3 b50 可知 bn 成等差数列 此数列的公差d a99 a100 b50 b5 45 d
12、 a 45 9b 8a 25 2 方法一 a1 a2 a3 a4 a1 a1q a1q2 a1q3 a14 q6 1 a13 a14 a15 a16 a1q12 a1q13 a1q14 a1q15 a14 q54 8 得 q48 8 q16 2 又a41 a42 a43 a44 a1q40 a1q41 a1q42 a1q43 a14q166 a14 q6 q160 a14q6 q16 10 1 210 1024 26 方法二 由性质可知 依次 项的积为等比数列 设公比为q T1 a1 a2 a3 a4 1 T4 a13 a14 a15 a16 8 所以T4 T1 q3 1 q3 8 q 2 所
13、以T11 a41 a42 a43 a44 T1 q10 1024 巧用性质 减少运算 在有关等差 等比数列的计算中非常重要 如 2 小题巧用性质 构造一个新的等差或等比数列求解 27 题型三等差 等比数列性质的综合应用 例3 已知等比数列 xn 的各项为不等于 的正数 数列 yn 满足ynlogxna 2 a 0 a 1 设y3 18 y6 12 1 求数列 yn 的前多少项和最大 最大值为多少 2 试判断是否存在自然数 使当n M时 xn 1恒成立 若存在 求出相应的M值 若不存在 请说明理由 3 令an logxnxn 1 n 13 n N 试判断数列 an 的增减性 28 1 由已知得
14、yn 2logaxn 设等比数列 xn 的公比为q q 由yn 1 yn 2 logaxn 1 logaxn 2loga 2logaq 得 yn 为等差数列 设公差为d 因为y3 18 y6 12 所以d 2 所以yn y3 n 3 d 24 2n yk 1 0yk 0 所以前11项与前12项和为最大 其和为132 设前k项和为最大 则 11 k 12 y12 0 29 2 xn a12 n n N 若xn 1 则a12 n 1 当a 1时 n12 所以存在M 12 13 14 当n M时 xn 1 3 an logxnxn 1 loga12 na12 n 1 因为an 1 an 又n 13
15、所以an 113时 数列 an 为递减数列 本小题主要考查等差 等比数列的有关知识 考查运用方程 分类讨论等思想方法进行分析 探索及解决问题的能力 30 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 1 设bn an 1 an n N 证明 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若a3是a6与a9的等差中项 求q的值 并证明 对任意的n N an是an 3与an 6的等差中项 31 1 证明 由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即bn qbn 1 n 2 又b1 a2 a1 1 q
16、0 所以 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 32 2 由 1 知 a2 a1 1 a3 a2 q an an 1 qn 2 n 将以上各式相加 得an a1 1 q qn 2 n 2 1 q 1 n q 1 上式对n 1显然成立 所以当n 2时 an 33 3 由 2 知 当q 1时 显然a3不是a6与a9的等差中项 故q 1 由a3 a6 a9 a3 可得q5 q2 q2 q8 由q 0 得q3 1 1 q6 整理得 q3 2 q3 2 0 解得q3 2或q3 1 舍去 于是q 另一方面 an an 3 q3 1 an 6 an 1 q6 由 可得an an 3 an 6 an n N 所以对任意的n N an是an 3与an 6的等差中项 3 34 1 知三求二 在等差 比 数列中 a1 d q n an Sn共五个量中知道其中任意三个 就可以求出其他两个 解这类问题时 一般是转化为首项a1和公差d 公比q 这两个基本量的有关运算 35 2 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中 巧用性质非常重要 同时树立 目标意识 需要什么 就求什么 既要充分合理地利用条件 又要时刻
