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1、1.1 空间几何体的结构疱丁巧解牛知识巧学一、多面体与旋转体1.多面体的总体特征：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.各面的边叫棱，棱的交点叫顶点，一般地，底面的边之外的棱叫侧棱.棱柱、棱锥、棱台都是多面体.它们的面分两种：底面和侧面.2.旋转体的总体特征：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.二、棱柱的结构特征1.定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各
2、面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.2.分类：(1)按底面边数分，底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱(2)按侧棱与底面是否垂直分，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，不垂直的叫斜棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.3.表示：一般用棱柱的顶点的字母表示棱柱，如六棱柱ABCDEF-ABCDEF，有时用对角线端点字母，如长方体AC.4.特点:(1)两个互相平行的面是底面;(2)侧棱互相平行且相等;(3)侧面是平行四边形;(4)与底面平行的截面是与底面全等的多边形;(5)与侧棱平行的截面是平行四边形;(6)我们学习的
3、棱柱中,底面都是凸多边形.三、棱锥的结构特征1.定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.2.分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥特别地，底面是正多边形且侧棱都相等的棱锥叫正棱锥，它的所有侧面都全等.棱长都相等的四面体叫正四面体，它的四个面都是全等的正三角形.这些都是比较常见的特殊棱锥.3.表示：棱锥一般用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥SABCD，三棱锥ABCD,三棱锥BC
4、DA.4.特点:(1)底面是多边形；(2)侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)侧棱相交于顶点.误区警示 判断一个几何体是否是棱锥,关键看它是否具备棱锥的两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是有一个公共顶点的三角形.二者缺一不可.例如“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥.如图1-1-1所示的几何体就不是棱锥.因为它不能保证各三角形都有相同的公共点.图1-1-1四、棱台的结构特征1.定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分，叫做棱台.原棱锥底面叫下底面，截面叫上底面.2.表示棱台用表示下上底的字母表示，如图1-1-2,棱台可表示为棱台AB
5、CDABCD.棱台侧棱是原棱锥侧棱被截得的部分，棱台侧面是原棱锥侧面被截得的部分，如图1-1-2，AA、BB、CC、DD是侧棱，多边形AABB、BBCC、CCDD等是侧面.图1-1-23.分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台4.性质：(1)棱台的侧棱相交于一点，否则，一定不是棱台；(2)棱台上下底面是相似多边形，且相互平行；(3)棱台的侧面是梯形；(4)过棱台的侧棱的截面是梯形.方法点拨 根据棱台定义,必须用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,否则得到的不是棱台,另外棱台也可用对角线上的字母表示,如图中棱台可表示为棱台AB.五、圆柱的结构特征1.定义：以矩形一边所在直
6、线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.如图1-1-3，O1O2所在直线为旋转轴，叫圆柱的轴，AB运动的每一个位置都叫做圆柱侧面母线，O1A旋转形成上底面，O2B旋转形成下底面，O1O2是圆柱的高，O1、O2分别是上、下底面的圆心.图1-1-32.表示：圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O1O2.3.性质：与圆柱的底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形，与轴斜交的截面，如果与侧面相交，交线是椭圆.六、圆锥的结构特征1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.SO所在直线是旋转轴，SA旋转形成的曲面是棱锥的侧面，SA经过的
7、每一个位置都是母线，SO是高，OA旋转而成的曲面叫做圆锥的底面，圆锥轴截面是正三角形的叫做等边圆锥.2.表示：圆锥的表示也是用表示轴的字母，如圆锥SO.3.性质：与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥顶点的截面是等腰三角形,两个腰都是母线.4.一般圆锥底面半径用r表示,母线长用l表示,高用h表示,且l2=h2+r2.误区警示 顶角最大的截面不一定是轴截面,若顶角090时,轴截面最大;若顶角90180时,轴截面的面积不是最大的,而是过顶点夹角为90的等腰三角形面积最大.七、圆台的结构特征1.定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台.截面叫上底面，圆锥的底面叫下底面，圆台的上、下
8、底面互相平行，圆锥的侧面被截得的部分叫圆台的侧面，圆锥的母线被截得的部分叫圆台的母线.圆台用上、下底面的圆心表示，如图1-1-4，圆锥SO被平行于底面的平面所截，截得小圆锥SH、圆台OH,AB是母线，OH是圆台的高.图1-1-42.圆台还可以看作由一个直角梯形绕与底边垂直的腰旋转形成的.如图1-1-4，直角梯形ABHO以OH所在直线为轴，AB旋转形成侧面，BH、OA旋转形成上、下底面.3.圆台与棱台统称为台体.与棱台相类似,圆台也必须用平行于底面的平面去截圆锥,否则得到的不是圆台.八、球的结构特征1.定义：一个半圆周绕它的直径所在直线旋转一周形成的曲面，叫做球面，球面围成的几何体叫球体，简称球
9、.半圆的圆心叫球心，半圆的半径叫球的半径，半圆的直径叫球的直径.如图1-1-5，O为球心，AB为直径.图1-1-52.球面也可以看作空间中到一定点距离相等的点的集合(平面中到一定点距离相等的点的集合是圆).所以球面上所有点到球心的距离相等,过球心的弦是直径.3.性质：平面与球面相交，交线是圆，过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆，如图1-1-5，圆O是大圆，圆O1是小圆，OC是球的半径，O1C是小圆的半径，OO1是两个截面间的距离，满足OC2=. 例如:如果把地球看作球体,那么地轴是直径,赤道、经度线是大圆,除赤道外纬度圈是小圆,球面上的两点间距离是弧长,不是线段.九、简单组合体 定义
10、:现实生活中，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有许多几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成，这些几何体叫组合体.问题探究问题1 本节课我们学习了棱柱的定义和性质，那么有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？探究:不一定.只要是棱柱，它一定有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.但反之,则不成立.如图1-1-6所示的几何体就不是棱柱，而是棱柱的组合体. 图1-1-6问题2 棱柱、棱锥、棱台有什么关系？探究:在运动的观点下：棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后交
11、于一点，即棱台可以还原成棱锥，我们在学习中要注意棱柱、棱锥和棱台这三类多面体之间的联系.典题热题例1 下列命题中正确的是( )A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线思路解析：A错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥.若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的.D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故选C.答案：C误区警示 此类题在做的时候容易只
12、注意到旋转的问题，而忽视了以什么为旋转轴的问题，旋转轴不同则得到的旋转体也是不同的.例2 下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥;侧棱与底面所成角相等且侧面与底面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的序号是_.思路解析：顶点在底面射影是内心，又底面是等边三角形，所以此射影为中心;举反例，如把两个有公共边的等边三角形沿公共边折叠，此过程中各顶点形成的四面体满足题意，但不一定为正三棱锥;以正六边形ABDEFG的一边AB为边
13、，在平面ABDEFG内作正ABC，作一三棱锥，使其以ABC为底，且顶点S在底面的射影为正六边形中心O，则满足题意的侧面积全相等，但显然不是正三棱锥;由侧棱与底面所成角相等，知顶点在底面射影是三角形的外心，侧面与底面所成二面角都相等说明顶点在底面射影是三角形的内心，所以一定为正三角形的中心.答案：深化升华 柱、锥、台等简单多面体的结构特征是常见的考点.正棱锥的定义中要保证两点：一是底面必为正多边形，二是顶点在底面的射影为底面多边形的中心，二者缺一不可.例3 已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCDA1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.思路解析：由于正方体中只有唯一的基本量，即棱长.所以只要能够建立与其相关的方程便可求解，而要建立方程就得和圆锥的基本量建立联系，从而使问题得以解决.解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图1-1-7所示.图1-1-7设圆锥内接正方体的棱长为，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为和.VA1C1VMN，.=2rh-2rx.x=,即圆锥内接正方体的棱长为.误区警示 圆柱、圆锥和圆台的轴截面有无数个，作图时要注意已知量和未知量的关系，适当选取，否则会使很容易的问题复杂化，造成错误.如本题中有关正方体的组合，我们需要选取过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面.
