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1、高中数学 2.5 向量的应用教材梳理素材 苏教版必修4知识巧学1.物理学中的向量 物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的,因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则;力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解;运动的叠加也用到了向量的加法. 在物理中动量是向量的数乘,力所做的功是向量的数量积.深化升华 数学与物理学是密不可分的两门自然科学,它们之间有着千丝万缕的联系.用数学知识研究物理问题的方法是:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回
2、答相关的物理问题.学法一得 向量在物理学中最基本的应用就是力、速度、加速度、位移的合成与分解.2.向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算和数量积表示出来,因此,可以用向量方法解决平面几何中的一些问题. 解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素;然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系;最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,
3、将平面问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)再把运算结果“翻译”成几何关系.学法一得 由于向量的数量积主要涉及向量的模及向量的夹角,因此,平面几何中涉及到距离(线段长度)、垂直和夹角问题时,常利用向量的数量积运算及其性质来解决.典题热题知识点1 物理学中的向量例1 如图2-5-2,在日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体,如果绳子的最大拉力为F,物体受到的重力为G,你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力M的大小与两绳之间的夹角之间的关系.图2-5-2思路分析:为了确切描述这一问题,应先把物理问题转化为数学问题,画出力的示意图.解:由向量的平行四边形法则
4、、力的平衡及直角三角形的有关知识易得出|M|=.方法归纳 解决力的合成与分解问题,关键是画出示意图,并利用向量的运算法则进行解题.巧妙变式 上题中求的是拉力与两绳夹角间的关系,本题也可以改结论,将所求的结论变成“两绳之间的夹角为何值时,拉力M最小,最小值是多少”.思路分析:结合上题的解法找出拉力M的大小与两绳之间的夹角之间的关系,然后利用三角函数的性质求最值即可.例2 如图2-5-3,一条河的两岸平行,河宽为500米,一艘船从A处出发到对岸,船速为10千米/时,水流速度为2千米/时.求航程最短时,船到达对岸所用的时间.(精确到0.1分钟)图2-5-3思路分析:如果水是静止的,则船只要取垂直于对
5、岸的方向行驶,就能使航程最短,所用的时间也最短,考虑到水流速度,要使船行驶最短的航程,那么船的速度与水流速度的合速度应垂直于对岸.解:要使船行驶最短的航程,那么船的速度与水流速度的合速度应垂直于对岸.如图2-5-4,图2-5-4|v|=. 所以,所用时间t=603.1(分钟).方法归纳 在用向量解决物理问题时,也要注意平面几何知识在解题过程中的应用.知识点2 向量在平面几何中的应用例3 已知A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0,-1),则三角形ABC的形状为( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不对思路解析:由于=(3,-1)
6、,=(-1,-3),所以|=|=. 又=3(-1)+(-1)(-3)=0,所以. 所以,三角形ABC为等腰直角三角形.答案:C方法归纳 当已知三角形三顶点坐标而判断其形状时,可转化为向量知识来解决,利用向量的模判断三边关系,而利用夹角公式求三个内角.深化升华 判断三角形的形状要从边和角这两方面入手.例4 如图2-5-5所示,已知点M、N、L分别为ABC的边AC、AB、BC上的点,且=l,=m,=n,=0,试求l、m、n的关系.图2-5-5思路分析:取一组向量作为基底,将、表示这组基底的线性组合,再用平面向量基本定理比较基底的系数,即可得出结论.解:以=a,=b为一组基底,根据已知条件有=la,
7、=mb. 又=-a-b, 则有=-na-nb. 则=(l-1)a-b. =a+mb, =-na+(1-n)b. 将代入=0, 整理得(l-n)a+(m-n)b=0, 根据平面向量基本定理有l-n=m-n=0,即l=m=n.方法归纳 在平面几何中,利用向量找线段长度之间的关系一般利用向量的线性运算或向量模的计算公式.问题探究思想方法探究问题:求等腰直角三角形两直角边上的中线所成钝角的余弦值.探究过程:由于题目中涉及到了两直线所成的钝角的余弦值的问题,而由向量数量积的性质可知,利用向量数量积的性质可以处理向量的夹角问题,则可考虑建立直角坐标系,构造向量,利用向量数量积的性质求夹角. 因此可如图2-5-6建立直角坐标系,图2-5-6 设A(2,0)、B(0,2),则F(1,0)、E(0,1), 所以cosEGF=-.探究结论:由于向量有几何意义、向量运算和坐标运算,因此将数与形结合尤为重要.在解题时,常常以向量为工具把几何图形的性质转化为向量的运算性质,实现了“数”与“形”的结合,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,这样就可以通过向量较容易地解决几何中的一些问题了.这就是数形结合的思想在向量中的具体体现.
