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1、高中数学 1.3 三角函数的图象和性质教材梳理素材 苏教版必修4知识巧学1.三角函数的周期性(1)周期函数定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 由诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，每一个非零常数2k(kZ,k0)都是它们的周期.深化升化 周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界，且如果一个函数是周期函数，它的周期T往往是多值的(如y=sinx,2,4,-2,-4,都是周期). 对于一个周期函数f(x)，如果在它所
2、有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 例如，2是正、余弦函数所有周期中的最小正数，则2是正弦函数和余弦函数的最小正周期.但应注意并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如函数f(x)=1，对于任意实数T都有f(x+T)=f(x)=1，所以只要T是非零常数，则T就是函数f(x)=1的周期，而在实数中并不存在最小的正数，则函数f(x)=1不存在最小正周期.联想发散 由正切线可知，正切函数也是周期函数，它的每一个周期为非零常数k(kZ,k0)，它的最小正周期为.(2)函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)(其中A、是常数，且A0,0)的最小正周期.
3、一般地，函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)(其中A、是常数，且A0,0)的最小正周期T=.误区警示 公式T=求周期只适用于函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期且应具有条件“0”，比如要求y=3sin(-2x+1)的最小正周期,若利用公式T=，所求的最小正周期为T=-，结论是错误的.其正确结果应为T=.因此，在求y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期时还应注意具体问题具体分析，即应注意题目中所给的条件是否有条件“0”，若有，则它们的最小正周期为T=，否则它们的最小正周期为T=.联想发散 函数y=Atan(x+)及函数y=Acot(x+)(其中A、
4、是常数，且A0,0)的最小正周期为T=.2.三角函数的图象和性质(1)正弦函数的图象 对于一类函数，我们主要研究它们的性质，而在三角函数中，正、余弦函数的性质是重点.为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.由于余弦函数y=cosx=sin(x+)，则余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状相同，它可由正弦函数的图象经过平移得到，则只要画出正弦函数的图象，就可以得到余弦函数的图象. 由上述内容可知，正弦函数y=sinx是以2为最小正周期的周期函数，则只要画出y=sinx在区间0,2上的图象，就可以得到整个图象，而y=sinx在区间0,2上的图象可由单位圆中的有向线段得到. 画y=si
5、nx在区间0,2上的图象的思路如下：先作单位圆，把O1十二等分(当然分得越细，图象越精确)；十二等分后得对应于0,2等角，并作出相应的正弦线；将x轴上从0到2一段分成12等份(26.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”；取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合；描图(连结)得y=sinx,x0,2. 其具体步骤如下： 在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从O1与x轴的交点起把O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，图象越精确).过O1上各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0,2等角的正弦线(如图1-3-2，有向线段O1B对应于角的正弦线)，相应地，再将x轴从0到2
6、分为12等份(如图1-3-2，从原点起向右的第四个点就是对应于角的点).把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(如图1-3-2，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点重合).再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了y=sinx，x0,2的图象(如图1-3-2).图1-3-2 由终边相同的三角函数性质知y=sinx,x2k,2(k+1),kZ,k0的图象，与函数y=sinx，x0,2图象形状相同，只是位置不同每次向左(右)平移2单位长就得到正弦函数y=sinx,xR的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线(如图1-3-3).图1-3-3 上面是借助正弦线描点来作出正弦曲线，
7、此外，也可以通过列表描点来作出正弦曲线.由上面的图1不难发现，函数y=sinx，x0,2的图象上起关键作用的点有五个：(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0). 事实上，描出五点后，函数y=sinx，x0,2的图象形状就基本确定了.此种画法称为“五点(画图)法”.这种画法的优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后且在精确度要求不高的情况下才可以用此种方法画正弦函数的图象. 作三角函数的图象时，自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，x、y轴的单位就可以统一了，作图时不要以比较习惯的角度制作为自变量的单位，这一点应引起注意.联想发散 利用五点法作正弦函数的图象时，这五个点的选择与
8、函数自变量的取值范围有关，一般地，当自变的取值范围是0,2时，这五个点取(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0)；当自变量的取值范围为-,时，这五个点取(-,0),(0,0),(,1),(,0),(,-1).总之，这五个点的横坐标都使正弦函数值取得最大值、最小值和零值.(2)余弦函数的图象 由上面内容可知余弦函数与正弦有如下关系：y=cosx=2sin(x+), 所以，只要将正弦函数的图象向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线(如图1-3-4).图1-3-4辨析比较 正弦曲线和余弦曲线的共同点：都是波浪状曲线，且都夹在直线y=1和y=-1之间，既是中心对
9、称图形又是轴对称图形.它们的不同点：正弦曲线的对称中心为(k,0),kZ，对称轴方程为x=k+,kZ，而余弦曲线的对称中心为(k+,0)，kZ,对称轴方程为x=k,kZ.(3)正弦函数、余弦函数的性质 由正弦函数和余弦函数的图象，可得正弦函数、余弦函数的性质如下：定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.值域 由正弦曲线、余弦曲线可以发现：-1sinx1，-1cosx1, 即sinx1,cosx1我们把满足条件f(x)M的函数f(x)称为有界函数. 而且sinx,cosx都可以取-1，1中的一切值，所以正弦函数和余弦函数的值域都是-1，1.由正弦函数图象的画法过程可知，角的正弦线最长，它
10、等于单位圆的半径为1，所以，当x=正弦函数取最大值为1，又角2k+(kZ)与角的终边相同，则角2k+(kZ)的正弦值也是1，所以正弦函数当且仅当x=2k+(kZ)时取得最大值1.同理，当且仅当x=2k-(kZ)时取得最小值-1. 而由单位圆中的有向线段可知当x=0时，余弦函数取最大值为1，又角x=2k(kZ)与角0的终边相同，所以余弦函数当且仅当x=2k(kZ)时取最大值1.同理,当且仅当x=2k+(kZ)时取最小值-1.周期性 由诱导公式一可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ,k0)都是它们的周期，它们的最小正周期为2.正、余弦函数的周期性也可以通过它们的图象体现出来，它们的图象
11、都是由在0,2上的图象向左或向右平移2的整数倍个单位得到的.奇偶性 对于正弦函数y=sinx,xR，其图象任意一点(x，y)即(x,sinx)关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)，又由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个对称点就是(-x,sin(-x)，它也在正弦函数的图象上.这就是说将正弦曲线绕原点旋转180后，曲线与原来的曲线重合，所以正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称. 对于余弦函数y=cosx,xR，其图象任意一点(x，y)即(x,cosx)关于y轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)，又由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就是(-x,
12、cos(-x)，它也在余弦函数的图象上.这说明，将余弦函数沿y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合，所以，余弦函数是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.单调性 由正弦曲线可以看出，当x由-增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间-+2k,+2k(kZ)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间+2k,+2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.所以，每一个闭区间-+2k,+2k(kR)是正弦函数的增区间，每一个闭区间+2k,+2k(kZ)是正弦函数的减区间.误区警示 正弦函数在
13、第一象限是增函数这种说法是错误的，这是因为第一象限中终边相同的角的正弦值是相等的，而终边相同的角具有大小关系，所以这并不满足单调性的定义.正确的说法是：正弦函数在每一个区间(2k,+2k)(kZ)上是增函数. 类似地，由余弦曲线可以看出，当x由0增大到时，曲线逐渐下降，cosx的值由1减小到-1；当x由增大到2时，曲线逐渐上升，cosx的值由-1增大到1，由余弦函数的周期性可知： 余弦函数在每一个闭区间2k,+2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1；在每一个闭区间+2k,2+2k(kZ)上都是增函数，其值从-1增大到1.所以，每一个闭区间2k,+2k(kZ)是余弦函数的减区间，每一个闭区
14、间+2k,2+2k(kZ)是余弦函数的增区间. 利用正、余弦函数的单调性，可以比较三角函数的大小，可以求三角函数的单调区间，还可以借助三角函数的图象解简单的三角不等式.辨析比较 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，而函数的单调性是相对于函数定义域内某个区间来说，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质.深化升华 奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.记忆要诀 对于正、余弦函数的性质，要结合它们的图象进行记忆.(4)正切函数的图象 同正弦函数的图象的画法相同，画正切函数的图象也利用单位圆的有向线段.画它的图象可分以下几步进行：首先考虑定义域： 不论是研究函数的性质还是画函数的图象都应首先考虑它的定义域，由正切函数的定义可知，正切函数的定义域为x|xk+(kZ).为了研究方便，再考虑一下它的周期：tan(x+)=tanx(xR,且xk+,kZ)，y=tanx(xR,且xk+,kZ)的周期为T=(最小正周期).选择(-,)的区间作出它的图象(如图1-3-5).图1-3-5 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,xR，且x+k(kZ)的图象，并把它称为正切曲线(如图1-3-6).图1-3-
