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1、一、教学内容：空间平面与平面的位置关系二、学习目标1. 了解空间平面与平面的位置关系；2. 掌握空间平面间位置关系的判定定理及其简单应用，了解定理的证明；3. 掌握空间平面间位置关系的性质定理及其简单应用，掌握定理的证明；4. 通过一些典型题，掌握空间位置关系证明的常用方法；5. 了解二面角求解的一些方法。三、知识要点1. 空间平面与平面的位置关系（1）平面与平面平行（无公共点），记作/；（2）平面与平面相交（有且仅有一条公共直线），记作=a；它们的图形表示如下：2、平面和平面平行的判定（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）判定定理（推论）：如果
2、一个平面内有两条相交直线与另一个平面内两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。3、两个平面平行的性质（1）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（2）性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（3）性质：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。4、两个平行平面间的距离定义：夹在两个平行平面间的垂线段的长5、两个平面垂直的判定（1）定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面；（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（3）判定定理
3、：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。6、两个平面垂直的性质（1）性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（2）性质：两个相交平面都和第三个平面垂直，则它们的交线也和第三个平面垂直。7、二面角（1）二面角的定义：从同一条直线出发的两个半平面所形成的图形；（2）二面角的平面角：过棱上任意一点分别在两个面内作棱的垂线，则垂线所形成的角称为二面角的平面角，0，。（3）二面角的平面角的大小称为二面角的大小。四、考点解析与典型例题考点一 判定平面与平面平行 常用方法有：（1）定义法：如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行；（2）
4、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内两条相交直线分别平行，则这两个平面平行；（3）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（4）结论（平面平行的传递性）：平行于同一个平面的两个平面互相平行；（5）结论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；例1、正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D
5、1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1D1C（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD说明：应用判定定理证明面面平行常按以下步骤：线线平行线面平行面面平行。考点二 判定平面与平面垂直 常用方法有：定义法：求其形成的二面角为直二面角；判定定理：证明一个平面过另一个平面的一条垂线；判定定理：证明一个平面平行于另一个平面的一条垂线结论：证明两个平面的垂线互相垂直例2、如图，为正三角形，平面，且，是的中点，求证：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面。证明：（1）设AC中点为N，连接N
6、与M、B，如图：由于MN为AEC的中位线，故MN/EC。由平面知，MN平面且MN与DB平行且相等，从而四边形MNBD为矩形，故得：DM与BN平行。由于BNAC，MNBN，所以BN平面EAC，从而DM平面EAC。即DM是DEA的边EA上的中线和高线，从而DEA为等腰三角形，DE=DA。（2）由（1）的证明可知：平面BDM即平面BDMN，由于该平面过DM，而DM平面EAC，故平面BDM平面EAC。（3）由（1）的证明可知：平面DEA过直线DM，而DM平面EAC，故平面DEA平面EAC。说明：也可通过计算证明DE=DA；通过判定定理证明平面与平面垂直常可通过如下步骤：线线垂直线面垂直面面垂直。考点三
7、 平面平行的性质的应用主要利用平面的性质进行证明相关结论。例3、求证：过平面外一点P只有一个平面与已知平面平行。证明：反证法。设过点P至少还有一个平面/，过P作一个平面M与、均相交，交线记作a，b，c，则b，c均过P点。因为/，则由平面平行的性质定理可知：故a/b；同理，a/c，又因为a，b，c都在平面M内，故知过P点有两条相交直线b，c均和a 平行，与“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾，矛盾表明：过平面外一点P只有一个平面与已知平面平行。考点四 平面垂直的性质的应用主要利用平面垂直的性质定理进行相关结论的证明或推断。例4、求证：若平面，过平面内一点P作a，则a。证明：同一法。
8、设=c，在平面内过P作bc，由于，由平面与平面垂直的性质定理可知：b，又a，因为过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故a，b重合，因b在平面内，故a也在平面内。命题得证。考点五 求二面角常用方法：定义法：求二面角的平面角；转化为分别在两个面内、与棱垂直的两条异面直线所成的角；转化为两个面的垂线所成角的问题；射影面积法：一个面内某图形面积为S，它在另一个面内的射影面积为S ，设二面角大小为，则cos=S/S。例5、求正四面体侧面与底面所成角的余弦值。解：由于正四面体的侧面在底面的射影恰为底面三角形，若设所求角为，则有：cos=S/S=S底/S侧=1/3。五、数学思想方法本讲对平面与平面的位置关
9、系的主要题型与方法进行了整理，除了正面推理与论证以外，也涉及逆向思维在解题中的应用实践：一是反证法（如例3），通过证明原命题的逆否命题成立达到间接证明原命题成立的目的，利用了互为逆否的两个命题真值相同的性质；二是同一法（如例4），利用在符合同一法则的前提下，原命题与逆命题等价这个性质，通过构造图形符合待证性质并说明所构造图形与待证图形为同一图形来达到间接证明原命题的目的，这两种方法在立体几何的证明中是十分常见的方法，同学们要通过练习熟练掌握；所以，对例题除了用所给证明方法以外，还应试用其他方法证明，以锻练自己多角度思维的能力。另外，数形结合的思想方法在本讲中的地位也是很重要的。在进行解题方法总
10、结的时候，要注意对相关知识进行系统梳理。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系是A. 平行 B. 相交 C. 平行或者相交 D. 不能确定2. 下列命题正确的是A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行3. 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）A. B. C. D. 4. 给出命题：垂直于同一
11、直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；其中正确命题的个数有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 平面M上有不共线的三点到平面N的距离相等，那么平面M、N的关系为A. 平行 B. 重合 C. 平行或者重合D. 不能确定6. 平面M 外的一条斜线a作平面N垂直于M，这样的平面N的个数为A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个7. 设、为平面，给出下列条件：（1）为异面直线，（2）内距离为的平行直线在内的射影仍为两条距离为的平行线；（3）内不共线的三点到的距离相等；（4）；其中能使/成立的条件的个数为 A.
12、 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题8. 正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，则两平行平面与平面的距离是 9. 与两个平行平面距离相等的所有点形成的图形是 .三、解答题10. 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；11. 四面体SABC中，SA=SB=SC=a，BSC=90，ASC=ASB=60，求证：平面SBC平面ABC*12. 棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的正切值的大小*13. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为
13、1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.（）证明：平面PBE平面PAB；（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦值的大小. 试题答案一、选择题：题号1234567答案DCDBDBA二、填空题8、； 9、平面.三、解答题：10、证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直11、证明：连接BC的中点M与S、A.由条件可知：ASC与ASB均为正三角形，从而AC=AB=a，且AMBC；又因为SBC为等腰直角三角形，故SMBC，且BC=a，SM=a.因此，ABC也是直角三角形，可求得AM=a.又，SA=a，因此ASM也是直角三角形，得SMAM.由可知：SM平面ABC，又因为平面SBC过直线SM，因此，平面SBC平面ABC。12、（）证明：平面平面，在中，又，即又，平面，平面，平面平面（）解：如图，作交于点，连接，由已知得平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，在中，13、（）证明：如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A，因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）解：延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作
