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1、高一数学指数与指数函数【本讲主要内容】 指数的定义及运算性质；指数函数定义、图象、性质。【知识掌握】【知识点精析】 1. 指数 （1）n次方根的定义 若，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号。 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。 （2）方根的性质 当n为奇数时， 当n为偶数时， （3）分数指数幂的意义 2. 指数函数 （1）指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 （2）指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。 （3）指数函数的性质 定义域
2、：R 值域：（0，） 过点（0，1），即x0时，y1。 当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数。【解题方法指导】 例1. （1） （2） 思路分析：利用指数幂的运算性质。 解：（1）原式 （2）原式 方法点拨：（1）根式的运算常常化成幂的运算来进行，计算结果如没有特殊要求，就用分数指数幂的形式表示。（2）对数运算中常常会逆用对数运算法则，以达到化简的目的。 例2. 下图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 A. B. C. D. 剖析：可先分两类，即（3）、（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、
3、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴。得。 解法二：令x1，由图知 答案：B 例3. 已知，求函数的值域。 解：，即，得。又是4，1上的增函数，。故所求函数y的值域是。 例4. 要使函数上恒成立，求a的取值范围。 解：由题意，得上恒成立，即在（，1上恒成立。又，当时值域为。 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。【考点突破】【考点指要】 本部分的考点指数的定义、指数函数的图象和性质。题型为选择题，题共5分。考察思想
4、方法为数形结合。【典型例题分析】 例1. （2020全国III）设，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析： ，选A。 例2. （1）（2020江西）已知实数a、b满足等式，下列五个关系式： ； ；。 其中不可能成立的关系式有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 答案：B 解析：上图中，由得或或ab0，选B。 （2）（2020广东）函数的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：由函数图象知函数f(x)为减函数 当x0时， 故，选D。 （3）（2020湖北）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. B.
5、 C. D. 答案：C 解析：易知，即。 故选C。 （4）（2020湖南）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是_。 答案：（0，） 解析：的图象如图所示，的图象有两个公共点，则。 例3. （2020上海）方程的解是_。 答案：x0 解析：， 【达标测试】 1. （2020宝鸡）已知函数，对于下列命题： 若，则； 若，则； 若，则。 其中正确的命题（ ） A. 有3个B. 有2个C. 有1个D. 不存在 2. （2020泰安）设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. （2020浙江五校联考）奇函数在R上是增函数，那么的大致图象是下图中的（ ） 4. （2020南京）已知函数的图
6、象与函数的图象关于直线yx对称，则f(3)的值为（ ） A. 1B. 1C. 2D. 2 5. （2020广州）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于（ ） A. 原点对称B. x轴对称C. y轴对称D. 直线yx对称 6. 函数对于任意的实数，都有（ ） A. B. C. D. 7. 函数在0，1上的最大值与最小值的和为3，则a（ ）A. B. 2C. 4D. 8. 预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是（k为常数，），其中Pn为预测期内n年后人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，如果，那么在这期间人口数（ ） A. 呈上升趋势B. 呈下降趋势C.
7、先上升后下降D. 先下降后上升 9. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t（月）的关系：，有以下叙述： 这个指数函数的底数为2； 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2； 浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月； 浮萍每月增加的面积都相等； 若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为，则。 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若指数函数的反函数的图象经过点（2，1），则此指数函数为_。 11. 当函数的图象不过第二象限时，m的取值范围是_。 12. 求值或化简： （1）； （2）； （3）。 13. 要使函数在上恒成立，求a的取值范围。 14.
8、定义在R上的函数，满足，当时，且对任意的有。 证明：（1）； （2）对任意的实数，恒有； （3）f(x)是R上的增函数。【综合测试】 1. （2020年郑州市质量检测题）函数的图象与直线的位置关系是 2. （2020年湖北，文5）若函数的图象经过二、三、四象限，则一定有A. B. C. D. 3. （2020年全国II，理6）函数的图象 A. 与的图象关于y轴对称 B. 与的图象关于坐标原点对称 C. 与的图象关于y轴对称 D. 与的图象关于坐标原点对称 4. 下列函数中值域为正实数的是 A. B. C. D. 5. 化简的结果是_。 6. 满足条件的正数m的取值范围是_。 7. （2020年
9、湖南，文16）若直线与函数（）的图象有两个公共点，则a的取值范围是_。 8. 函数的递增区间是_。 9. 已知的最大值和最小值。 10. 若，求的值域。 11. （2020年全国III，18）解方程 12. 方程的解的个数为_。 13. 若关于x的方程有实根，求m的取值范围。 14. 设是R上的偶函数， （1）求a的值； （2）证明：上是增函数。达标测试答案 1. A 解析：都正确。 2. A 解析： 则函数为偶函数时，递增，时，递减，故选A。 3. C 解析：f(x)在R上为增函数，奇函数在x0有意义，则f(0)0。 由f(0)0，得k10，即k1。 又是R上的增函数， 故是增函数，选C。
10、4. D 解析：令 5. C 解析：由点A（x、y）关于y轴的对称点为A（x，y），知与的图象关于y轴对称。 6. C7. B8. B9. D 10. 11. 12. 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 13. 解：由题意得上恒成立，即在上恒成立。 又。 令，则 则f(t)在上为减函数 即， 。 14. 证明：（1）令ab0，则 f(0)0，f(0)1 （2）令ax，bx，则 对任意的实数 否则有，而这是不可能的。 再令 而 （3）设 由（2）知 又由（2）知 ，f(x)为R上的增函数【综合测试答案】 1. C 解析： ，不可能选D 又当，不可能选A、B。 2. C 解析：作函数的图象 3
11、. D 解析：图象法 4. B 解析：的值域是正实数，而 的值域是正实数。 5. 解析：原式 6. 或解析：，当时，有 当时，有 综上所述， 7. 解析：数形结合。由图象可知 8. 9. 解：由， 解得。 令 当即时，； 当t1即时，。 10. 解：由 令。 借助二次函数图象知 11. 解：当 原方程（无解） 或（无解）。 当 原方程（无解） 或（为原方程的解） 12. 1 解析：方程的解可看作函数的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图） 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解。 评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想。 13. 解法一：设 问题转化为方程在（0，1内有实根。 设，其对称轴y2， 解法二：，其中， 14. （1）解：依题意，对一切有 对一切成立， 由此得到 又 （2）证法1：设 由 又
