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1、 平 面 向 量 的 数 量 积一、基本知识：1 掌握平面向量的数量积及其几何意义2 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3 掌握向量垂直的条件二、例题分析：例1 （1）在直角三角形ABC中，C=90，AB=5，AC=4，求（2）若a=（3，4），b=（2，1），试求（a2b）（2a3b）分析 （1）中两向量、的模及夹角容易求得，故可用公式ab=|a|b|cos求解（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、ab，也可求a2b与2a3b的坐标，进而用（x1，y1）（x2，y2）=x1x2y1y2求解解（1） 在ABC中，C=90，AB=5，AC=4，故BC=3，且cosAB
2、C=，与的夹角=ABC，=cosABC=53=9（2）解法一 a2b=（3，4）2（2，1）=（1，6）， 2a+3b=2（3，4）3（2，1）=（12，5）， （a2b）（2a3b）=（1）12（6）（5）=18 解法二 （a2b）（2a3b）=2a2ab6b2 =232（4）232（4）16（2212）=18点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算具体应用时可根据已知条件的特征来选择值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中ABC并非与的夹角从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向
3、量数量积的运算如：a（bc）=abbc，而（ab）ca（bc）例2已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明ABOC 分析 要证，即证=0，题设中不涉及，我们用=+代换，于是只需证=至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有、的形式证明 由已知得2+2=2+2，即2+（+）2=2+（+）2，整理得=，即 （+）=0，故 =0所以 点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在例3设=a=（1，1），=b=（，3），试求AOB及AOB的面积分析 已知a
4、、b可以求|a|、|b|及ab，进而求得AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=absin求面积 解 设AOB=，AOB的面积为S，由已知得：=a=2，=b=2，cos=又S=absin=2=2，即AOB=，AOB的面积为2点评 向量的数量积公式ab=abcos不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角要注意该公式与三角形的面积公式的区别此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）例4已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角分析 要求夹角，必需求出cos；求cos需求出ab与ab的比值（不一定要求出a、b的具
5、体值）由已知的两个向量的垂直关系，可以得到ab与ab的关系解 （a+3b）（7a-5b），（a-4b）（7a-2b）， （a+3b）（7a-5b）=0，（a-4b）（7a-2b）=0即 7a2+16ab-15b2=0，7a2-30ab+8b2=0两式相减，得 b2=2ab故 a2=b2 ， 即 a=bcos=60 ， a与b的夹角为60 点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cos是一个ab与ab的比值，并不需要具体分别求出类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互
6、转化和利用在本题求解过程中注意，b2=2ab不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=b三、训练反馈：1若a=4，b=3，ab=6，则a与b的夹角等于 （ B ）A150 B 120 C60 D30 2若a=（2，1），b=（1，3），则2a2ab= （ C ）A，15 B11 C9 D6 3已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2ij垂直的一个向量为 （ B ）A 2ij B i2j C ij D ij4、已知=5，a与b的夹角的正切值为，ab=12，则b的模为（ B ）A4 B3 C D5已知=2，向量a在单位向量e方向上的投影为，则向量a与e向量的夹角为（D ） A30
7、B60 C120 D1506已知a=（1，2），b=（5，8），c=（2，3），则a（bc）为 （ B ） A34 B（34，68） C 68 D（34，68）7边长为的正三角形ABC中，设=c，=a，=b，则abbcca等于（ A） A 3 B 0 C 1 D 38已知a=（1，2），b=（1，1），c=bka，且ca，则C点坐标为_.（，）提示：由ca=0得k=9已知a=（1，2），b=（x，1），当（a2b）（2ab）时，实数x的值为 10已知m=（5，3），n=（1，2），当（mn）（2nm）时，实数的值为 11已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90，c=2a3b，d=ka4b，且c
8、d，则k= 612已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则= 013已知ab=（2，8），ab=（8，16），则a与b夹角的余弦值为 14已知a=3，b=4，且a与b夹角为60，ka2b=13，求k的值利用模的性质，ka2b2=（ka2b）2=9k248k64=169，解得k=7，或k=.15设两向量e1、e2满足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围略解： e12=4, e22=1, e1e2=1,（2te17e2）（e1te2）=2t215t70,解得 7t但 2te17e2=（e1te2） （0）
9、时 t= 此时两向量夹角为t（7,）（,）16设向量a=（cos23，cos67），b=（cos68，cos32），u=atb (tR)（1） 求ab；（2） 求u的模的最小值.略解： （1） ab=cos45= （2） a2=1, b2=1, u2=t2t1 t= ,umin=17设a=（1cos，sin）， b=（1cos，sin）， c=（1，0）， （0，），（，2），a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且12=，求sin的值a=（2cos2,2sincos）=2 cos（cos, sin） 1 =b=（2sin2,2sincos）=2 sin（sin, cos）2= 12= , = sin=
