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1、 平 面 向 量 的 应 用一、基本知识：1 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题2 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型3 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解4 能结合实际意义，正确表述问题的解5 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题二、例题分析：例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度3km/h，方向正东，风向北偏西30，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向aVV3V1V2a分析 撇开题
2、设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1v2v3=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求 略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1v2=a，易求得a的方向是北偏东 30，a的大小为 3 km/h 设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 2 km/h船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60，大小为km/h点评 四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略每一次合成只相当于求解了一个简单题例2 已知O为ABC所在平面内一点，满足|2| |2=|2|2=|2|2试证明O
3、是ABC的垂心分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，与、与、与 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ABC的垂心，只需证得，联想向量的数量积，只需证=0|2| |2=|2|2 ，得a2（cb）2=b2（ac）2 ， cb=ac ，即（ba）c=0=0， 故 同理 ，故O是ABC的垂心点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化例3如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和
4、m2的物体（m1m2），BOmm2Am1另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1m2=OBOA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）求证：（1） AOB为定值；（2） 2分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，F2F1FBA引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索AOB的大小，在求出AOB后，再向第2问结论努力解（1）设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0如图，设BAO=，ABO=，根据平行四边形法则，得F2cos+F1cos（）=0，F2sin+F1sin（）F=0即 m2cosm
5、1 cos=0 ， m2sinm1 sin=m 在AOB中，由正弦定理，得OBOA= sinsin，将m1m2= sinsin代入，得sincos= sincos，即sin2= sin2m1m2 ，OAOB ，22=180=90， 即AOB=90（）由=90，得coscossinsin将平方相加，得m2=m12m22 由m22m1m2=m12m222m1m2=（m1m2）20 ，得m22m1m2 2点评向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解本题所列方程组，是根据物体水平
6、方向、竖直方向所受各力的合力分别为得到三、训练反馈： 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 （ A ）A s|a| B s0，则ABC为钝角三角形C 若ab=0，则ABC为直角三角形D若c（abc）=0，则ABC为正三角形6两人同提重|G|的书包时，用力都为|F|，夹角为，则|F|、|G|、之间的关系为|F| =_；当= 时，|F|取得最小值；当|F|=|G|时，= ； 0；= 提示：画示意图，用加法的平行四边形法则. 8下列各个量：物体的位移；汽车的速度；物体的质量；某液体的温度其中能称为向量的有 9已知三个力F1=（1，3），F2（2，1），
7、F3=（x，y），某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= （1，4）10设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 6 km,向北偏东60走3 km11一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形（角度可用反三角函数表示）答：船的实际航行速度方向是北偏东arctan ，大小为2 km/h.12在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速为20 km/
8、h，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 北偏东60， 20km/h. 13已知a=（sin， sincos），b=（cos，0），O为坐标原点，=ab，则|= 14一个30的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力？若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上静止不动的推力f又如何表示？4.9N, f=p , ,f=f=p 15 已知点A（1，2）和B（4，1），问能否在y轴上找一点C，使ACB=90，若能，求出C点坐标；若不能，说明理由不能. 因 =0 无解.16 已知O为坐标原点， =（3，0）， =（），两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发，速度均为4km/h，且甲沿方向运动，乙沿方向运动（1） 甲乙两个质点之间的初始距离是多少？（2） 用包含t的式子f（t）表示t小时后，两个质点之间的距离；（3） 什么时候两个质点之间相距最近提示：（1）由|2=|2+|22可得|=km.（2）设th后，甲、乙分别运动到P、Q，写出、，并求得 =48t224t7.注意：要分0t与t讨论.（3） 利用配方法求最小值，得t=h时，两个质点之间相距最近
