随机变量与分布列习题

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1、随机变量及分布列 1 已知随机变量 2 0 XN 若 2 P Xa 则 2 P X的值为 A 1 2 a B 2 a C 1a D 1 2 a 2 已知随机变量 若 则的值为 A 0 4 B 0 2 C 0 1 D 0 6 3 已知 则的值为 A 10 B 7 C 3 D 6 4 集装箱有标号为1 2 3 4 5 6 且大小相同的6 个球 从箱中一次摸出两个球 记下并放回 如果两球之积 是 4 的倍数 则获奖 若有 4 人参与摸奖 恰好有3 人获奖的概率是 A B C D 5 甲袋中放有大小和形状相同的小球若干 其中标号为0 的小球为 1 个 标号为 1 的小球 2 个 标号为 2 的小球 2

2、 个 从袋中任取两个球 已知其中一个的标号是1 则另一个标号也是1 的概率为 6 设随机变量服从正态分布 则 7 某人通过普通话二级测试的概率是 他连线测试3 次 那么其中恰有1 次通过的概率是 A B C D 8 从1 2 3 4 5 6 7 中任取两个不同的数 事件为 取到的两个数的和为偶数 事件为 取到的两个数 均为奇数 则 A B C D 9 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析 决定从全班25位女同学 15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析 如果按性别比例分层抽样 求样本中男生 女生人数分别是多少 随机抽取8位同学 数学成绩由低到高依次为 60 65 70 75 80

3、85 90 95 物理成绩由低到高依次为 72 77 80 84 88 90 93 95 若规定90分 含90分 以上为优秀 记为 这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数 求的分布列和数学期望 10 某品牌汽车的4S店 对最近 100 份分期付款购车情况进行统计 统计情况如下表所示 已知分 9 期付 款的频率为 0 4 该店经销一辆该品牌汽车 若顾客分3 期付款 其利润为1 万元 分 6 期或 9 期付款 其利润为 2 万元 分 12 期付款 其利润为3 万元 付款方式分 3 期分 6 期分 9 期分 12 期 频数2020a b 1 若以上表计算出的频率近似替代概率 从该店采用分期付款购车

4、的顾客 数量较大 中随机抽取3 为顾客 求事件A 至多有 1 位采用分 6 期付款 的概率P A 2 按分层抽样方式从这100 为顾客中抽取5 人 再从抽取的5 人中随机抽取 3 人 记该店在这3 人身 上赚取的总利润为随机变量 求的分布列和数学期望E 11 某公司有 A B C D E 五辆汽车 其中 A B 两辆汽车的车牌尾号均为1 C D 两辆汽车的车牌尾号均 为 2 E车的车牌尾号为6 已知在非限行日 每辆车可能出车或不出车 A B E 三辆汽车每天出车的概 率均为 1 2 C D 两辆汽车每天出车的概率均为 2 3 且五辆汽车是否出车相互独立 该公司所在地区汽车 限行规定如下 车牌尾

5、号0 和 51 和 62 和 73 和 84 和 9 限行日星期一星期二星期三星期四星期五 1 求该公司在星期一至少有2 辆汽车出国的概率 2 设 X 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和 求X 的分布列及期望 12 拖延症总是表现在各种小事上 但日积月累 特别影响个人发展 某校的一个社会实践调查小组 在 对该校学生进行 是否有明显拖延症 的调查中 随机发放了 110 份问卷 对收回的 100 份有效问卷进行 统计 得到如下22列联表 有明显拖延症无明显拖延症合计 男352560 女301040 合计6535100 按女生是否有明显拖延症进行分层 已经从40 份女生问卷中抽取了8 份

6、问卷 现从这8 份问卷中 再随机抽取 3 份 并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X 试求随机变量X的分布列和数学期望 若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关 那么根据临界值表 最精确 的P的值应为多少 请说明理由 附 独立性检验统计量 2 2 n adbc K abcdacbd 其中nabcd 独立性检验临界值表 2 0 P Kk 0 250 150 100 050 025 0 k1 3232 0722 7063 8415 024 13 某高校数学系2016年高等代数试题有6 个题库 其中 3 个是新题库 即没有用过的题库 3 个是旧 题库 即至少用过一次的题库 每次期末考

7、试任意选择2 个题库里的试题考试 1 设 2016 年期末考试时选到的新题库个数为 求的分布列和数学期望 2 已知 2016年时用过的题库都当作旧题库 求2017 年期末考试时恰好到1 个新题库的概率 14 某市举行的 国际马拉松赛 举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动 抽奖盒中装有6 个大小相同的小球 分别印有 快乐马拉松 和 美丽绿城行 两种标志 摇匀后 参加者每次从盒中同 时抽取两个小球 取出后不再放回 若抽到的两个球都印有 快乐马拉松 标志即可获奖 并停止取球 否则继续抽取 第一次取球就抽中获一等奖 第二次取球抽中获二等奖 第三次取球抽中获三等奖 没有 抽中不获奖 活动开始后

8、一位参赛者问 盒中有几个印有 快乐马拉松 的小球 主持人说 我只 知道第一次从盒中同时抽两球 不都是 美丽绿城行 标志的概率是 1 求盒中印有 快乐马拉松 小球的个数 2 若用表示这位参加者抽取的次数 求的分布列及期望 15 为创建全国文明城市 某区向各事业行政单位征集 文明过马路 义务督导员 从符合条件的600 名 志愿者中随机抽取100 名 按年龄作分组如下 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 并得到如下频率分布直方图 求图中的值 并根据频率分布直方图统计这600 名志愿者中年龄在 30 40 的人数 在抽取的 100 名志愿者中按年龄分层抽取10 名参加区电视台

9、文明伴你行 节目录制 再从这10 名志愿者中随机选取3 名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历 记这3 名志愿者中年龄不低于35岁的 人数为 求的分布列及数学期望 16 一家医药研究所 从中草药中提取并合成了甲 乙两种抗 病毒 的药物 经试验 服用甲 乙两种 药物痊愈的概率分别为 现已进入药物临床试用阶段 每个试用组由4 位该病毒的感染者组成 其中2 人 试用甲种抗病毒药物 2 人试用乙种抗病毒药物 如果试用组中 甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病 毒药物的治愈人数 则称该组为 甲类组 1 求一个试用组为 甲类组 的概率 2 观察 3 个试用组 用表示这3 个试用组中 甲类组 的个数 求的分布列

10、和数学期望 17 某班为了提高学生学习英语的兴趣 在班举行英语写 说 唱综合能力比赛 比赛分为预赛和决赛2 个阶段 预赛为笔试 决赛为说英语 唱英语歌曲 将所有参加笔试的同学 成绩得分为整数 满分100 分 进行统计 得到频率分布直方图 其中后三个矩形高度之比依次为4 2 1 落在的人数为12人 求此班级人数 按规定预赛成绩不低于90 分的选手参加决赛 已知甲乙两位选手已经取得决赛资格 参加决赛的 选手按抽签方式决定出场顺序 i 甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率 ii 记甲乙二人排在前三位的人数为 求的分布列和数学期望 18 2017 年 1 月 1日 作为市打造 千园之城 27个示性公园

11、之一的泉湖公园正式开园 元旦期间 为了 活跃气氛 主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放 现从到公园游览的市民中随机抽取了60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查 统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况 具体数据如图表 1 根据条件完成下列2 2 列联表 并判断是否在犯错误的概率不超过1 的情况下愿意接受挑战与性别有关 愿意不愿意总计 男生 女生 总计 2 水上挑战项目共有两关 主办方规定 挑战过程依次进行 每一关都有两次机会挑战 通过第一关 后才有资格参与第二关的挑战 若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 1 2 记甲通过的关数为X 求 X 的分布列

12、和数学期望 参考公式与数据 2 0 P Kk0 10 050 0250 01 0 k 2 7063 8415 0246 635 2 2 n adbc K abcdacbd 19 在某校组织的 共筑中国梦 竞赛活动中 甲 乙两班各有6 名选手参赛 在第一轮笔试环节中 评委将他们 的笔试成绩作为样本数据 绘制成如图所示的茎叶图 为了增加结果的神秘感 主持人故意没有给出甲 乙两班最 后一位选手的成绩 知识告知大家 如果某位选手的成绩高于90 分 不含90 分 则直接 晋级 1 求乙班总分超过甲班的概率 2 主持人最后宣布 甲班第六位选手的得分是90 分 乙班第六位选手的得分是97 分 请你从平均分和

13、方差的角度来分析两个班的选手的情况 主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2 个 记抽取到 晋级 选手的总人数为 求的分布列及数学期 望 20 一个袋中装有大小相同的球10 个 其中红球8 个 黑球2 个 现从袋中有放回地取球 每次随机取1 个 求 1 连续取两次都是红球的概率 2 如果取出黑球 则取球终止 否则继续取球 直到取出黑球 取球次数最多不超过4 次 求取球次数的概率 分布列及期望 21 甲乙两人下棋比赛 规定谁比对方先多胜两局谁就获胜 比赛立即结束 若比赛进行完6 局还没有分出胜负则 判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛 比赛过程中 每局比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 每局比

14、赛相互 独立 求 1 比赛两局就结束且甲获胜的概率 2 恰好比赛四局结束的概率 3 在整个比赛过程中 甲获胜 的概率 22 若随机变量 2 2 3XN 且1P XP Xa 则 5 21 xaax x 展开式中 3 x 项的系数是 23 在某项测试中 测量结果服从正态分布 若 则 24 某班有 50 名学生 一次数学考试的成绩 服从正态分布 已知 估计该班学生数学成绩在120 分以上 的有 人 25 某厂生产的零件尺寸服从正态分布N 25 0 03 2 为使该厂生产的产品有 95 以上的合格率 则该厂生产的零件 尺寸允许值的围为 26 已知正态总体的数据落在区间 3 1 里的概率和落在区间 3

15、5 里的概率相等 那么这个正态总体的数学 期望为 27 若随机变量 的分布列如下表 0 1 x P 1 5 p 3 10 且 E 1 1 则 D 28 设 p 为非负实数 随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P 1 2 pp 1 2 则 E X 的最大值为 D X 的最大值为 29 12 个同类型的零件中有2 个次品 抽取3 次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 以表示取出次品 的个数 则的期望值 E 参考答案 1 A 解析 由题意有正态密度函数的图象关于直线0 x对称 正态密度函数的图象与x轴围成的面积为1 所以有 1 2 2 1 2 P XP Xa 选A 2 B 解析 故选 B

16、3 A 解析 由题意得 故选 A 4 B 解析 获奖的概率为 记获奖的人数为 所以 4 人中恰好有3 人获奖的概率为 故选 B 5 解析 记 一个标号是 为事件 另一个标号也是 为事件 所以 6 解析 依题意有 7 A 解析 次独立重复实验 恰好发生一次的概率为 点睛 本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有两种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试 验中发生的概率都是一样的 二项分布在次独立重复试验中 设事件发生的次数为 在每次试验中事件发生的概率 为 那么在次独立重复试验中 事件恰好发生次的概率为 此时称随机变量服从二项分布 记作 并称为成功 概率 8 C 解析 事件 取到的两个数之和为偶数 所包含的基本事件有 事件 取到的两个数均为奇数 所包含的基本事件有 故选 C 9 5 3 详见解析 解析 试题分析 利用分层抽样的特点 等比例抽样 进行求解 写出随机变量的所有可能取值 利 用排列组合知识求出每个变量所对应的概率 列表得到分布列 进而求出期望值 试题解析 抽取女生数