《初三中考复习二次函数最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三中考复习二次函数最值问题（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数之最值问题 基本解题步骤 1 审题 读懂问题 分析问题各个量之间的关系 2 列数学表达式 用数学方法表示它们之间的关系 即写出变量与常量之间的二次函数关系式 3 求值 利用二次函数关系式的顶点坐标公式 2 4 24 bacb aa 或配方法求得最值 配方法 将二次函数 2 yaxbxc 转化为 2 ya xhk 的形式 顶点坐标为 h k 对称轴为 xh 当0a时 y有最小值 即当 xh 时 yk 最小值 当0a时 y有最大值 即当 xh 时 yk 最大值 4 检验 检验结果的合理性 函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值围 解题策略 转化数学检验 解答 实际问题数学问题解问题答案 关
2、 键 在 如 何 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 利润最值问题 此类问题一般先是运用 总利润总售价 总成本 或 总利润每件商品的利润销售数量 建立利润与价格之间的函数关系式 再 求出这个函数关系式的顶点坐标 顶点的纵坐标即为最大利润 特殊地 这里要 考虑实际问题中自变量的取值围 数形结合求最值 例 1 例 2 线段和或差 或三角形周长 最值问题 此类问题一般是利用轴对称的性质和 两点之间线段最短确定最短距离 这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公 式求解 特殊地 也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题 最短距离和找法 以动点所在的直线为对称轴 作一个已知点的对称点 连结
3、另 一个已知点和对称点的线段 与对称轴交于一点 这一点即为所求点 线段长即 为最短距离和 口诀 大 同 小 异求最值 大 同 求差的最大值 把点移动到直线的同侧 小 异 求和的最小值 把点移动到直线的两侧 几何最值较多 例 3 例 4 例 5 线段长最值问题 根据 两点间距离公式 12xx把线段长用二次函数关系式表示 出来求最值 几何面积最值问题 此类问题一般是先运用三角形相似 对应线段成比例等性质 或者用 割补法 或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形 的面积y与边长x之间的二次函数关系 其顶点的纵坐标即为面积最值 例 6 例 7 例 8 动点产生的最值问题 数形结合求解 把路
4、程和转化成时间和 当三点共线时有 最值 例 9 例 10 利润最值问题 例 1 一玩具厂去年生产某种玩具 成本为 10 元 件 出厂价为 12 元 件 年销售量为2 万件 今年计划通过 适当增加成本来提高产品的档次 以拓展市场 若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0 7x 倍 今年这 种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0 5x 倍 则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x 倍 本 题中 01x 1 用含 x 的代数式表示 今年生产的这种玩具每件的成本为 元 今年生产的这种玩具每件的出厂 价为 元 2 求今年这种玩具每件的利润y 元与 x 之间的函数关系式 3 设今年这种玩具的年销售利润为
5、w万元 求当 x 为何值时 今年的年销售利润最大 最大年销售利润是 多少万元 注 年销售利润 每件玩具的出厂价 每件玩具的成本 年销售量 解 1 10 7x 12 6x 2 y 12 6x 10 7x y 2 x 0 x 11 3 w 2 1 x y 2 1 x 2 x 2x 2 2x 4 w 2 x 0 5 2 4 5 2 0 0 x 11 w 有 最 大 值 当 x 0 5时 w 最大 4 5 万 元 答 当 x 为 0 5 时 今 年 的 年 销 售 利 润 最 大 最 大 年 销 售 利 润 是 4 5万 元 例 2 新星电子科技公司积极应对2008 年世界金融危机 及时调整投资方向
6、瞄准光伏产业 建成了太阳能光 伏电池生产线 由于新产品开发初期成本高 且市场占有率不高等因素的影响 产品投产上市一年来 公司经 历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程 公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次 公司累积获得 的利润 y 万元 与销售时间第x 月 之间的函数关系式 即前x 个月的利润总和y 与 x 之间的关系 对 应的点都在如下图所示的图象上 该图象从左至右 依次是线段OA 曲线 AB和曲线 BC 其中曲线AB为抛物 线的一部分 点 A为该抛物线的顶点 曲线 BC为另一抛物线 2 52051230yxx的一部分 且点 A B C 的横 坐标分别为4 10 12 1 求该公司累积获
7、得的利润y 万元 与时间第x 月 之间的函数关系式 2 直接写出第x 个月所获得S 万元 与时间x 月 之间的函数关系式 不需要写出计算过程 3 前 12 个月中 第几个月该公司所获得的利润最多 最多利润是多少万元 解 1 设 直 线 OA的 解 析 式 为 y kx 点 O 0 0 A 4 40 在 该 直 线 上 40 4k 解 得 k 10 y 10 x 点 B 在 抛 物 线 y 5x 2 205x 1230 上 设 B 10 m 则 m 320 点 B 的 坐 标 为 10 320 点 A 为 抛 物 线 的 顶 点 设 曲 线 AB 所 在 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 y
8、a x 4 2 40 320 a 10 4 2 40 解 得 a 10 即 y 10 x 4 2 40 10 x 2 80 x 120 2 利 用 第 x 个 月 的 利 润 应 该 是 前 x 个 月 的 利 润 之 和 减 去 前 x 1个 月 的 利 润 之 和 12 10 4 C B x 月 y 万元 40 O A 3 由 2 知 当 x 1 2 3 4时 s 的 值 均 为 10 当 x 5 6 7 8 9时 s 20 x 90 即 当 x 9 时 s 有 最 大 值 90 而 在 x 10 11 12时 s 10 x 210 当 x 10 时 s 有 最 大 值 110 因 此 第
9、 10 月 公 司 所 获 利 润 最 大 它 是 110 万 元 试一试 1 某水果批发商销售每箱进价为40 元的的苹果 物价部门规定每箱售价不得高于55 元 市场调查发现 若 每箱以 50 元的价格销售 平均每天销售90 箱 价格每提高1 元 平均每天少销售3 箱 1 求平均每天销售量y 箱 与销售价x 元 箱 之间的函数关系式 2 求该批发商平均每天销售利润w 元 与销售价x 元 箱 之间的函数关系式 3 当每箱苹果的售价为多少元时 可以获得最大利润 最大利润是多少 解 1 设 y kx b 把 已 知 45 105 50 90 代 入 得 故 平 均 每 天 销 售 量 y 箱 与 销
10、 售 价 x 元 箱 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y 3x 240 2 水 果 批 发 商 销 售 每 箱 进 价 为 40 元 的 苹 果 销 售 价 x 元 箱 该 批 发 商 平 均 每 天 的 销 售 利 润 w 元 与 销 售 价 x 元 箱 之 间 的 函 数 关 系 式 为 W x 40 3x 240 3x 2 360 x 9600 3 W 3x 2 360 x 9600 3 x 60 2 1200 a 3 0 抛 物 线 开 口 向 下 又 对 称 轴 为 x 60 当 x 60 W 随 x 的 增 大 而 增 大 由 于 50 x 55 当 x 55 时 W 的 最
11、大 值 为 1125 元 当 每 箱 苹 果 的 销 售 价 为 55 元 时 可 以 获 得 最 大 利 润 为 1125 元 2 我市某镇的一种特产由于运输原因 长期只能在当地销售 当地政府对该特产的销售投资收益为 每投 入 x 万元 可获得利润 2 1 6041 100 Px万元 当地政府拟在 十二 五 规划中加快开发该特产的 销售 其规划方案为 在规划前后对该项目每年最多可投入100 万元的销售投资 在实施规划5 年的前两年 中 每年都从100 万元中拨出50 万元用于修建一条公路 两年修成 通车前该特产只能在当地销售 公路通 车后的 3 年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地
12、销售的投资收益为 每投入x 万元 可获利润 2 99294 100100160 1005 Qxx 万元 1 若不进行开发 求 5 年所获利润的最大值是多少 2 若按规划实施 求 5 年所获利润 扣除修路后 的最大值是多少 3 根据 1 2 该方案是否具有实施价值 解 1 每 投 入 x 万 元 可 获 得 利 润 当 x 60 时 所 获 利 润 最 大 最 大 值 为 41 万 元 若 不 进 行 开 发 5 年 所 获 利 润 的 最 大 值 是 41 5 205 万 元 2 前 两 年 0 x 50 此 时 因 为 P 随 x 的 增 大 而 增 大 所 以 x 50 时 P 值 最 大
13、 即 这 两 年 的 获 利 最 大 为 后 三 年 设 每 年 获 利 y 设 当 地 投 资 额 为 a 则 外 地 投 资 额 为 100 a 当 a 30 时 y 最 大 且 为 1065 这 三 年 的 获 利 最 大 为 1065 3 3195 万 元 5 年 所 获 利 润 扣 除 修 路 后 的 最 大 值 是 80 3195 50 2 3175 万 元 线段和 或三角形周长 最值问题 复习 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 P在 DC边上且 DP 1 点 Q是 AC上一动点 则 DQ PQ 的最小值为 例 1 已知二次函数 2 yxbxc 的图象过点3 0A和点1 0
14、B 且与y轴交于点C D点在抛物线上且横 坐标是2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴上有一动点P 求出PAPD的最小值 例 2 如图 在平面直角坐标系xOy 中 直线 3 2 3 yx分别交 x 轴 y 轴于 C A两点 将射线AM绕着点 A顺时针旋转45 得到射线AN 点 D为 AM上的动点 点 B为 AN上的动点 点 C在 MAN 的部 1 求线段AC的长 2 当 AM x 轴 且四边形 ABCD 为梯形时 求 BCD的面积 3 求 BCD周长的最小值 4 当 BCD 的周长取得最小值 且 5 2 3 BD时 BCD 的面积为 例 3 已知 如图 二次函数 2 230yaxaxa
15、a图像的顶点为H 与 x 轴交于 A B两点 B在 A点右侧 点 H B 关于直线l 3 3 3 yx对称 1 求 A B两点坐标 并证明点A在直线 l 上 2 求二次函数解析式 3 过点 B作直线 BK AH交直线 l 于 K点 M N分别为直线AH和直线 l 上的两个动点 连接 HN NM MK 求 HNNMMK 和的最小值 y A x O B H K 试一试 1 已知抛物线 2 1yaxbx经过点1 3A和点2 1B 1 求此抛物线解析式 2 点 C D分别是 x 轴和 y 轴上的动点 求四边形 ABCD周长的最小值 3 过点 B作 x 轴的垂线 垂足为 E点 点 P从抛物线的顶点出发
16、先沿抛物线的对称轴到达F 点 再沿 FE 到达 E点 若 P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2 倍 试确定点F 的位置 使得点 P按 照上述要求到达E点所用的时间最短 要求 简述确定F点位置的方法 但不要求证明 二次函数中字母替换 例 1 如图 已知 A a m B 2a n 是反比例函数 0 k x k y与一次函数bxy 3 4 图像上的两个不 同的交点 分别过 A B两点作 x 轴的垂线 垂足分别为C D 连结 OA OB 若已知 21a 则求 OAB S 的取 值围 例 2 已知点 1 Ac和点 3 Bd是直线 1yk xb和双曲线 2 2 0 k yk x 的交点 1 过点A做AMx轴 垂足为M 连接BM 若AM BM 求点B的坐标 2 若点P在线段AB上 过点P做PEx轴 垂直为E 并交双曲线 2 2 0 k yk x 于点N 当 PN NE 取 最大值时 有 1 2 PN 求此时双曲线的解析式 作业 1 2010 眉山市 26 12 分 如图 Rt ABO的两直角边OA OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上 O为 坐标原点 A B两点的坐标分别为3 0
