自控课件-第2章控制系统的数学模型

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1、1 2 1控制系统微分方程的编写2 2传递函数2 3控制系统的结构图及其等效变换2 4自动控制系统的传递函数2 5信号流图2 6Matlab应用 第二章自动控制系统的数学模型 2 1 定义 数学模型是指出系统内部物理量 或变量 之间动态关系的表达式 数学模型又分为静态模型和动态模型 静态模型反映系统在恒定载荷或缓变作用下或在系统平衡状态下的特性 现时输出仅由其现时输入所决定 一般以代数公式描述 动态模型反映系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性 现时输出还由受其以前输入的历史的影响 一般以微分方程或差分方程描述 在控制理论或控制工程中 一般关心的是系统的动态特性 因此 往往需要采用动态数学模

2、型 例 数学模型基础 3 2 建立数学模型的目的建立系统的数学模型 是分析和设计控制系统的首要工作 或基础工作 自控系统的组成可以是电气的 机械的 液压或气动的等等 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的 因此 通过数学模型来研究自动控制系统 可以摆脱各种不同类型系统的外部特征 研究其内在的共性运动规律 3 建模方法 4 微分方程 或差分方程 传递函数 或结构图 频率特性状态空间表达式 或状态模型 5 由数学模型求取系统性能指标的主要途径 4 常用数学模型 5 Back 6 建立数学模型的基础 微分方程 连续系统 机械运动 牛顿定理 能量守恒定理电学 欧姆定理 基尔霍夫定律热学 传热定理 热

3、平衡定律 数学模型的准确性和简化 差分方程 离散系统 线性与非线性分布性与集中性参数时变性 6 Back 机械运动的实质 牛顿定理 能量守恒定理 阻尼B 质量M 弹簧K 7 机械运动系统的三要素 7 Back 8 电气系统三元件 电学 欧姆定理 基尔霍夫定律 8 分析法建立系统微分方程的一般步骤 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系 确定待研究系统的输入量和输出量 将系统划分为单向环节 并确定各个环节的输入量和输出量 所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应 即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响 根据支配系统动态特性的规律 从系统的输入端开始 依次列写组成系统各环节的运动方程式 组

4、成联立方程组 2 1控制系统微分方程的编写 2 1 1线性元件的微分方程 9 对联立方程组进行简化 线性化和增量化 并消去中间变量 得到只包含系统输入量和输出量的方程式 即系统的输出模型 将该方程式化为标准形式 即将与输入量有关的各项放在方程的右边 而与输出量有关的各项放在方程的左边 并将各导数项按降幂排列 10 R L C串联电路示意图 由电阻R 电感L 电容C组成的R L C电路 输入量为ur t 输出量为uc t 求该电路的微分方程 数学模型 11 R L C串联电路的数学模型 根据基尔霍夫定律 消去中间变量 此即R L C电路的数学模型 输入 输出模型 它描述了输入ur t 和输出uC

5、 t 之间的动态关系 12 机械平移系统示意图 由弹簧 质量 阻尼器组成的机械平移系统 外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号 列写其运动方程式 k 弹簧的弹性系数 m 运动部件的质量 阻尼器的粘性摩擦系数 13 机械平移系统的基本关系 假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计 运动部件的质量是集中参数 则运动部件产生的惯性力为 设弹簧的变形在弹性范围内 则弹性力为 阻尼器的阻尼力为 14 机械平移系统的数学模型 根据牛顿定律 可得此即机械平移系统以外力f t 为输入信号 位移y t 为输出信号的运动方程式 即数学模型 15 相似系统 1 电工系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统 但它

6、们的微分方程却具有相同的形式 称为相似系统 16 相似系统 2 相似系统的动态特性也相似 因此可以通过研究电路系统的动态特性研究机械系统的动态特性 由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点 因此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统 这种方法称为电子模拟技术 在建立系统的数学模型后 通过数字计算机求解系统的微分方程 或状态方程 来研究实际系统的动态特性 称为计算机仿真技术 17 工程实践中遇到的系统和元件的输入 输出特性或多或少存在着非线性 例如 放大器在大信号输入时输出出现饱和 磁化曲线有饱和和磁滞回环 齿轮传动中有间隙 为了便于研究 对非线性程度不严重的系统 总是尽可能地将非线性数学模型

7、转换成近似的线性模型 2 1 2非线性微分方程的线性化 18 线性化问题的提出 有条件存在 只在一定的工作范围内具有线性特性 非线性系统的分析和综合是非常复杂的 可以应用叠加原理 以及应用线性理论对系统进行分析和设计 线性系统缺点 线性系统优点 19 以微小偏差法为基础 运动方程中各变量就不是它们的绝对值 而是它们对额定工作点的偏差 增量 微小偏差法 假设 在控制系统整个调节过程中 所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差 非线性方程 局部线性增量方程 1微小偏差法 增量法 20 2增量方程 增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上 对于实际系统就是以正常工作状态为研究

8、系统运动的起始点 这时 系统所有的初始条件均为零 注 导数根据其定义是一线性映射 满足叠加原理 21 3多变量函数泰勒级数法 22 4单变量函数泰勒级数法 函数y f x 在其平衡点 x0 y0 附近的泰勒级数展开式为 略去含有高于一次的增量 x x x0的项 则 注 非线性系统的线性化模型 称为增量方程 注 y f x0 称为系统的静态方程 23 自动平衡搜索车 M m 小车和摆的质量 kg l 摆杆的长度 m u t 外作用力 N z t 小车移动距离 m t 摆杆相对于直立方向的偏离角 rad 24 自动平衡搜索车说明 1 自动平衡搜索车由小车及倒置于其上的摆 倒置摆 组成 它实际上是一

9、个空间起飞助推器的姿态控制模型 姿态控制的目的是保持空间起飞助推器在垂直位置上 因此控制系统的作用是在施加控制作用u t 后 使摆直立不倒 25 自动平衡搜索车说明 2 为研究方便 假设小车与摆仅作平面运动 摆杆质量 风力 摩擦等略去不计 摆的运动可看作由牵引运动 小车平移 和相对运动 摆杆转动 的合成 摆的水平运动为 z lsin 在垂直于摆杆的方向 摆的运动也由两部分合成 一部分为小车平移运动在该方向的投影zcos 另一部分为摆的圆周运动l 26 自动平衡搜索车基本关系 根据牛顿定律 沿水平方向 在垂直于摆杆方向 式中 g 重力加速度 m s2 27 自动平衡搜索车基本关系简化 1 在自动

10、平衡搜索车的运动方程式中 有变量的乘积和三角函数 非线性方程 线性化 假设摆只在垂直位置附近作微小的摆动 因为控制系统的目的在于使摆保持直立不倒 因此假设与实际情况相符 闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差 因此可以认为 d dt接近于零 从而可忽略微不足道的高次项 如 2 d dt 2 d dt等 而保留 d dt项 28 自动平衡搜索车基本关系简化 2 三角函数也可同样简化 微分方程可近似为 29 自动平衡搜索车的数学模型 1 30 自动平衡搜索车的数学模型 2 31 自动平衡搜索车的数学模型 数学模型 上述模型不适用于开环系统 因为如果没有u t 的作用 摆就会倒下 这时就不符合 d

11、dt接近于零的假设 32 应用小偏差线性化方法应注意的问题 所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性 通过小偏差线性化方法 通常得到的是经过简化 线性化 增量化的微分方程 即使变量前省去了 也应将变量理解为增量 经过增量化以后 相当于把坐标原点移到平衡工作点 这时各变量的初始条件为零 当系统有本质非线性特性时 非线性特性有间断点 转折点和非单值关系 不能采用小偏差线性化方法 33 在零初始条件 下 线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比 输入量施加于系统之前 系统处于稳定的工作状态 即t 0时 输出量及其各阶导数也均为0 2 2传递函数

12、图2 8传递函数方框图 34 R L C无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时 其拉氏变换为 传递函数求解示例 35 质量 弹簧 阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时 其拉氏变换为 按照定义 系统的传递函数为 36 初始条件为零时微分方程拉氏变换 系统的传递函数 2系统传递函数的一般形式 37 3特征方程 N s 0 系统的特征方程 特征根特征方程决定着系统的动态特性 N s 中s的最高阶次等于系统的阶次 从微分方程的角度看 此时相当于所有的导数项都为零 K 系统处于静态时 输出与输入的比值 38 4零点和极点 M s b0 s z1 s z2 s zm 0的根s zi i 1 2

13、m 称为传递函数的零点 N s a0 s p1 s p2 s pn 0的根s pj j 1 2 n 称为传递函数的极点 系统传递函数的极点就是系统的特征根 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数 39 5零点 极点分布图 传递函数的零 极点分布图 将传递函数的零 极点表示在复平面上的图形 零点用 O 表示极点用 表示 40 6单位脉冲响应 g t 称为系统的脉冲响应函数 权函数 41 1 传递函数是微分方程经拉氏变换导出的 而拉氏变一种线性积分运算 因此传递函数的概念只适用于线性定常系统 2 传递函数只与系统本身的结构和参数有关 与系统输入量的大小和形式无关 3 传递函数是在零初始条件下定义

14、的 即在零时刻之前 系统是处于相对静止状态 因此 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律 4 传递函数是复变量s的有理分式 分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m 即n m 这是因为实际系统或元件总是具有惯性且能源有限 5 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系 对多输入多输出系统 要用传递函数阵表示 6 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应 7传递函数的基本性质 42 控制器常用阻容电路和运算放大器组合来实现 如图所示 运算放大器具有同相 和反相 两个输入端 一般采用反相输入 假设运算放大器的输入阻抗与放大倍数为无穷大 则下图网络的传递函数为 复数阻抗法 43

15、2 4 2典型环节的传递函数 设系统有b个实零点 d个实极点 c对复零点 e对复极点 v个零极点 1典型环节的产生 44 45 环节是根据微分方程划分的 不是具体的物理装置或元件 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成 同一元件在不同系统中作用不同 输入输出的物理量不同 可起到不同环节的作用 说明 46 Back 例1 齿轮传动 例2 晶体管放大器 2放大环节 比例环节 47 Back 例1齿轮传动 48 Back 3惯性环节 储能元件 输出落后于输入量 不立即复现突变的输入例1 弹性弹簧例2 RC惯性环节 49 例1弹性弹簧 50 例2RC惯性环节 51 4积分环节 52 积分环节具有

16、明显的滞后作用 如当输入量为常值A时 输出量须经过时间T才能达到输入量在t 0时的值A 改善系统的稳态性能 53 Back 例1电容充电 54 Back 例2积分运算放大器 55 5微分环节 例1 测速发电机 例2 RC微分网络 例3 理想微分运放 56 Back 例1测速发电机 无负载时 57 例2RC微分网络 例3理想微分运算放大器 58 6二阶振荡环节 例1 机械平移系统 例2 RLC串联网络 59 例1机械平移系统 60 例2RLC串联网络电路 61 7延时环节 运动方程式 传递函数 环节的时间常数 超越函数近似处理 例1 水箱进水管的延滞 62 延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出 仅由于惯性 输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值 延迟环节从输入开始之初 在0 时间内没有输出 但t 之后 输出完全等于输入 63 例1水箱进水管的延时 64 2 3控制系统的结构图及其等效变换 结构图又称方块图或方框图 具有形象和直观的特点 方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成 它包含以下四种基本单元 1 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号传递的方