《华科大数理方程课件――贝塞尔函递推公式和展开成级数(2014)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华科大数理方程课件――贝塞尔函递推公式和展开成级数(2014)（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 2贝塞尔函数的递推公式 不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系 本节 来建立反映这种联系的递推公式 18 由 的表达式 18 可推出下列两个基本 递推公式 25 26 2 25 26 事实上 在 18 式的两边乘上 然后对 求导 得 令 得 3 同样可以证明公式 25 25 26 事实上 在 18 式的两边乘上 然后对 求导 得 4 25 26 如果将以上两式左端的导数表出 化简后则得 先后消去 与 则得 27 28 显然 25 26 式与 27 28 式是等价的 5 25 26 27 28 与 若已知 之值 由 27 式可算出 之值 这样一来 通过 27 式 可以用0阶与1阶 贝塞尔函数来表
2、示任意正整数阶的贝塞尔函数 6 25 26 特别的 当 时 由 26 式得 当 时 由 25 式得 29 27 28 7 例 27 28 29 求 解 由 27 式知 则有 25 26 27 28 29 内容小结 9 5 3按贝塞尔函数展开为级数 应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题 时 最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为 级数 本节我们将讨论这个问题 本章开始 我们从薄圆盘温度分布的定解问题 中 导出了贝塞尔方程的固有值问题 方程 32 的通解为 32 33 10 无穷大 方程 32 的通解为 32 33 由于 由边界条件 33 中的有界性条件 可知 从而 另外 再利用 33 中的条
3、件 得 34 11 所谓贝塞尔函数的零点 指的是使 的那些 的值 关于贝塞尔函数的零点有下面几点结论 5 3 1贝塞尔函数的零点 有无穷多 个正零点 与 没有公共零点 整数阶贝塞尔函数应用更多 特别是 与 12 34 应用上述关于贝塞尔函数零点的结论 设 为 的正零点 则由方程 34 得 与这些固有值相对应的固有函数为 35 36 36 5 3 2贝塞尔函数系的正交性 阶贝塞尔函数序列 36 在区间 上带权 正交 即 37 5 3 3贝塞尔函数的模 定积分 39 的平方根 称为贝塞尔函数 的模 37 5 3 3贝塞尔函数的模 定积分 39 的平方根 称为贝塞尔函数 的模 为了求模 将贝塞尔方程
4、 32 改写如下 32 15 为书写方便 记 其中 为任意参变量 则有 将上面两式分别乘以 和 为书写方便 记 其中 为任意参变量 则有 上两式相减得 为书写方便 记 其中 为任意参变量 则有 上式两边对 从 到 积分得 38 当 时 由 38 式得 18 在上式中 令 仍为任意参数 由于 故上式化为 19 40 形式的不定型 当 时 上式右端为 应用洛必达法则 得 20 40 由递推公式 以及 得 从而 40 式变为 41 由于贝塞尔函数 与 没有公共零点 由 41 式知贝塞尔函数的模不为0 5 3 4傅里叶 贝塞尔级数 在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解 问题时 往往需要把已知函数按贝
5、塞尔函数系 展成级数 42 其中系数 由下式确定 43 由公式 43 确定的 称为傅里叶 贝塞尔系数 级数 42 称为傅里叶 贝塞尔级数 22 例 43 设 是函数 的正零点 试将 函数 在 上展成 的傅里叶 贝塞尔级数 解 由 42 43 式有 先计算分子 42 23 例 设 是函数 的正零点 试将 函数 在 上展成 的傅里叶 贝塞尔级数 解 由 42 43 式有 先计算分子 令 则 代入 得 24 例 设 是函数 的正零点 试将 函数 在 上展成 的傅里叶 贝塞尔级数 解 由 42 43 式有 代入 得 于是 25 25 26 特别的 29 1贝塞尔函数的递推公式 2 傅里叶 贝塞尔级数 42 43 阶贝塞尔方程的固有值问题 方程 32 的通解为 32 33 3 与这些固有值相对应的固有函数为 35 36 固有值为
