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1、周长最小值专题 完整版师用 A 线段和最小值 两种基本模型 如图 要在街道旁修建一个奶站P 向居民区 A B 提供牛奶 奶站 P应建在什么地方 才能使从A B 到它的距离之和最短 为什么 求线段和最小值的一般步骤 选点 P 所在直线 l 为对称轴 画出点A 的对称点 A 连结对称点 A 与 B 之间的线段 交直线l 于点 P 点 P即为所求的点 线段A B 的长就是 AP BP 的最小值 基本解法 利用对称性 将 折 转 直 基础训练 1 如图 11 梯形 ABCD中 AD BC AB CD AD 1 B 60 直 线 MN为梯形 ABCD 的对称轴 P 为 MN上一点 那么 PC PD 的最
2、小值 为 A 1 B C D 2 试题分析 连接 AC 与 MN 所得交点即为所求P 点 因为 D 与 A 关于 MN 对称 的最小值即符合两点之间线段最短 所以AC 与 MN 交点即为所求 P 点 因为 所以 所以 所以 此时 所以 即 2 如图 4 菱形 ABCD 中 AB 2 BAD 60 E是 AB的中点 P是 对角线 AC上的一个动点 则PE PB 的最小值是 图 4 分析 首先分解此图形 构建如图5 模型 因为 E B 在直线 AC 的同侧 要在AC上找一点 P 使 PE PB 最小 关键是找出点B或 E 关于 AC的对称点 如图 6 由菱形的对称性可知点B和 D关于 AC对 称
3、连结 DE 此时 DE即为 PE PB 的最小值 图 5 图 6 由 BAD 60 AB AD AE BE 知 32 2 3 DE 故 PE PB 的最小值为3 2 如图 已知点 A是半圆上一个三等分点 点B是弧 AN的中点 点 P是半径 ON上的动点 若 O的半径长为 1 则 AP BP 的最小值为 P位于 A B与 MN 的交点处 AP BP 的值最小 作 A关于 MN 的对称点 A 根据圆的对称性 则A 必在圆上 连接 BA 交 MN于 P 连接 PA 则 PA PB 最小 此时 PA PB PA PB A B 连接 OA OA OB B 三角形周长最小值 1 彰州 如图 4 AOB 4
4、5 P 是 AOB 一点 PO 10 彰州 如图4 AOB 45 P 是 AOB 一点 PO 10 Q R 分别是 OA OB 上 的动点 求 PQR 周长的最小值 分析 点 P 是角部的一个定点 要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形 周长最小 只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线 解 分别作点P 关于 OA OB 的对称点P1 P2 连结 P1P2 根据轴对称性易知 OP1 OP2 OP 10 P1OP2 2 AOB 90 因而 P1P2 102 故 PQR 周长的最小值为102 2 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物
5、线的解析式 2 设 1 中的抛物线交 y 轴于点 C 在该抛物线的对称轴上是否存在点Q P2 P1 O A B P R Q O 图 4 使得QAC的周长最小 如果存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 3 在第二象限的抛物线上是否存在一点P 是 PBC 的面积最大 若存在 求出点 P 坐标 及 PBC 面积的最大值 若不存在 请说明理由 重点分析第 2 问 要使 QAC 的周长最小即 AC CQ QA最小 由于 AC长度 一定 故只要CQ QA 最小时 周长最小 设抛物线的对称轴为直线MN 则可分 解出图形 构建模型 要在直线MN上找点 Q 使 CQ QA 最小 由抛物线的对称 性可知 点
6、 A 点 B关于直线 MN 对称 连结 BC交 MN 于点 Q 只要找出点 Q的位 置 其坐标不难求得 3 如图 已知抛物线y ax2 bx c 过 A 3 3 5 B 4 2 C 0 2 三点 点P 是 x 轴上的动点 1 求抛物线的解析式 2 如图甲所示 连接AC CP PB BA 是否存在点P 使四边形ABPC 为等腰梯形 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 3 点 H 是题中抛物线对称轴l 上的动点 如图乙所示 求四边形AHPB 周长的最小值 1 利用待定系数法 将点A B C 的坐标代入解析式即可求得 2 根据等腰梯形的判定方法分别从PC AB 与 BP AC 去分析 注意不
7、要漏解 3 首先确定点P与点 H 的位置 再求解各线段的长即可 解 抛 物 线y ax 2 bx c 过A 3 3 5 B 4 2 C 0 2 三 点 B 四边形周长最小值 基本模型 一 定长不动 做双对称 思路与方法 1 总有两个已知点 即一条边是定值 2 分别做两个已知点关于xy 轴的对称点 则与两坐标轴的焦点就是所求两点 3 此时 两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上 即四点共线 所以最 小 1 在直角坐标系中 设 A 4 5 B 8 3 C m 0 D 0 n 当四边形的 周长最短时 m n 的值为 2 在直角坐标 系中 有四个 点 A 6 3 B 2 5 C 0 m D n 0 当四 边形 ABCD周长最 短时 则 m n
