《江西省萍乡市2020年高一数学竞赛试题（含解析）（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省萍乡市2020年高一数学竞赛试题（含解析）（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020年江西省萍乡市高一年级数学竞赛试卷第卷（共60分）一、填空题（每题10分，共80分.）1. 若是单位向量，且，则_【答案】0【解析】2. 函数的值域为_【答案】【解析】时，x-1时，1-x0, -1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，图象的交点数共有_【答案】5故答案为54. 若4x=6y=9z，则_【答案】0.=lg19zlg9+1z=05. 已知，sin+sin+sin=0，cos+cos+cos=0，则_【答案】23【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，cos=coscos，sin=sins
2、in，sin2+cos2=1，(cos+cos)2+(sin+sin)2=1，整理得：2+2(coscos+sinsin)=1,即coscos+sinsin=12，cos()= 12，02，02=或43.同理可得：cos()= 12,解得：=或。cos()= 12;解得：=或。02对一切实数xR+都成立，求实数的取值范围.【答案】k212x2【解析】试题分析：函数f(x)=lnx+2x2+ax（）是偶函数得出a=0，证明出当x0时，为增函数，f(1)=2，根据单调性去掉f,得出x2+k2+1212，即得解试题解析：（）是偶函数，当x0时，f(x)=f(-x)，得2ax=0对一切x0都成立，所以
3、，.于是f(x)=lnx+2x2设x1x20，f(x1)-f(x2)=lnx1+x12-lnx2-x22=lnx1x2+(x1-x2)(x1+x2)0，所以，当x0时，为增函数.，f(1)=2，于是，即，所以即对一切实数xR+都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记x表示不超过实数x的最大整数，在数列中，（），证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由（）知，数列为正项递增数列.把化为an+1-an-1=2an，两边同除an-1anan+1得，裂项相消求和i=220171ai-1ai+1=2-12a2017a2018，即得解.试题解析：由
4、an+1=2an+an-1（n2）知，数列为正项递增数列.又，所以，i=220171ai-1ai+11a1a3=43.an+1=2an+an-1化为，两边同除an-1anan+1得1an-1an+1=12(1an-1an-1anan+1).因此，i=220171ai-1ai+1=12i=22017(1ai-1ai-1aiai+1)=12(1a1a2-1a2017a2018) =2-12a2017a20182故11. 如图，定直线与定O相离，为上任意一点，为O的两条切线，为两切点，其垂足为点C，交于点E，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，由射影定理，得，因为，所以，四点共圆，由
5、圆幂定理得结合两个等式即得解. 试题解析：连OA,OP，设M为OP，AB的交点，因为，AMOP，由射影定理，得因为，所以，四点共圆.由圆幂定理，得所以，即（定值），所以，OE为定长.12. 有（）个整数：，满足，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，若为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，如果中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，若为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.如果中仅有一个偶数，则中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.
