《天津市高中数学 第1讲 集合及其应用寒假课程学案 新人教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津市高中数学 第1讲 集合及其应用寒假课程学案 新人教版（通用）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲 集合及其应用一、知识梳理1.元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号：自然数集，正整数集 或，整数集，有理数集，实数集.不含任何元素的集合叫做空集，记为.注：集合中元素的三个特性：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性.2.集合与元素的关系：如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.3.集合表示法：列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合.表示集合是由集合中具有性质的所有元素构成的. V
2、enn图：4.集合间的基本关系：子集：如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们称集合为集合的子集，记作，读作A包含于.空集是任何一个集合的子集.真子集：如果集合，但存在元素x，且x，我们称集合为集合的真子集，记作.集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合与集合是相等的，记作.规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算：交集：由属于集合A且属于集合的所有元素组成的集合，称为集合与的交集，记作：，读作：交.并集：由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作：，读作：并. 补集：对于一个集合，由全集中不
3、属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作：U，读作：在中的补集.二、方法归纳1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素以及它所具有的性质；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如B，则有或两种可能，此时应分类讨论.3.数集的运算往往用数轴法.4.用Card（）表示有限集的元素个数，则由，可得Card（）Card（）；由，可得Card（）Car
4、d（）；Card（）0.5.个元素的集合所有子集个数为，所有真子集个数为1. 三、典型例题精讲【例1】若集合，1，4，则满足条件的实数x的值为 （）A.4B.2或2C.2 D.2解析：根据，得，但，由元素的互异性.答案：C技巧提示：牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性.又例：若31，求实数的范围.答案：a0，1，3，【例2】已知， ，则集合中元素的个数是 （）A.0 B.1C.2 D.多个错解分析：根据为直线上的点集，为单位圆上的点集，中元素的个数是2，选C.解析：根据，得，为数集，为单位圆上的点集，.答案：A技巧提示：用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表
5、元素满足的条件.交集是由两个集合的公共元素组成的集合.又例：设集合 ， ，则的子集的个数是（）A.0 B.2 C.4 D.8解析：显然都是坐标平面内的点集，抛物线与圆有三个交点，即集合有个元素，有8个子集.答案：D【例3】若为三个集合，则一定有 （）A.B.C. D.解析：（），（） ，又，故选A.答案：A技巧提示：理解集合的运算性质是解答本题的关键.（），（）就是交运算和并运算的重要性质.本题也可利用Venn图直接得出结论.又例：已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（ ）解析：， ，U.答案：B. 【例4】设集合Ax|x2ax120，Bx|x2bxc0，且AB，AB3，4，A
6、B3，求a、b、c的值.解析：AB3，3A且3B，将3代入方程：x2ax120中，得a1，从而A3，4.将3代入方程x2bxc0，得3bc9.AB3，4，ABA，BA.AB，BA，B3.方程x2bxc0的判别式b24c0，由得c3b9，代入整理得：（b6）20，b6，c9.故a1，b6，c9.技巧提示：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考.【例5】设集合A、B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB，已知Ax|y，By|y2x2，则AB等于（）A.（2，） B.0,12，）C.0,1）（2，） D.0,1（2，）解析：Ax|yx|0x2，By
7、|y2x2y|y0，AB0，），AB0,2 ，因此AB（2，），故选A.答案：A【例6】已知全集UR，集合Ax|log2（3x）2，集合Bx|1.（1）求A、B；（2）求（UA）B.解析：（1）由已知得：log2（3x）log24，解得1x3，Ax|1x3.由1，得（x2）（x3）0，且x20，解得2x3.Bx|2x3.（2）由（1）可得UAx|x1或x3，故（UA）Bx|2x1或x3.技巧提示：本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解.又例: 已知全集UR，集合Ay|2y2，集合By|y2x，那么集合A（UB）等于 （）A.y|2y0 B.y|0y2C.y|y2 D.y|y0解析：由题意易得
8、：B（0，），RB（，0，所以ARBy|2y0.答案：A【例7】已知集合Ax|x26x80，Bx|（xa）（x3a）0.（1）若AB，求a的取值范围；（2）若AB，求a的取值范围；（3）若ABx|3x4，求a的值或取值范围.解析：Ax|x26x80，Ax|2x4.（1）当a0时，B，不合题意.当a0时，Bx|ax3a，应满足即a2，当a0时，Bx|3axa，应满足即a.当AB时，a2.（2）要满足AB，当a0时，Bx|ax3a，a4或3a2，0a或a4；当a0时，Bx|3axa，a2或a，a0时成立，当a0时，B，AB也成立.综上所述，a或a4时，AB.（3）要满足ABx|3x4，显然a0且a
9、3时成立，此时Bx|3x9，而ABx|3x4，故所求a的值为3.技巧提示：（1）本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质.（2）本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a与3a的大小，进而将集合B表示出来.又例:已知集合Ax|mx22x30，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中含有两个元素，求m的取值范围.解析：集合A是方程mx22x30在实数范围内的解集.（1）A是空集，方程mx22x30无解.412m0，即m.（2）A中只有一个元素，方程mx
10、22x30只有一解.若m0，方程为2x30，只有一个解x；若m0，则0，即412m0，m.m0或m.（3）A中含有两个元素，方程mx22x30有两解，满足，即，m且m0.四、课后训练1.已知集合Px|x21，Qx|mx1，若QP，则实数m的数值为（）A.1 B.1 C.1或1D.0，1或12.已知U2，3，4，5，6，7，M3，4，5，7，N2，4，5，6，则 （ ）A.MN4，6 B.MNUC.（UN）MU D.（UM）NN3.设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1S2S3I，则下面论断正确的是A.I S1（S2S3） B.S1（ I S2I S3）C.I S1I S2I S
11、3 D.S1（ I S2I S3）4.设集合A1，1，3，Ba2，a24，AB3，则实数a_5.已知全集UAB中有m个元素，（UA）（UB）中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为 A.mn B.mn C.nm D.mn6.设集合Ax|x2，Bx|x21，则AB （）A.x|1x2 B.x|x1C.x|x2 D.x|1x27.设全集为U，且2020U，与2020（AB）意义相同的是 （）A.2020ABB.2020A或2020BC.2020（UA）（UB） D.2020（UA）（UB）8.设P和Q是两个集合，又集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ等于 （）A.x|0x1 B.x|0x1C.x|1x2 D.x|2x3五、参考答案1.答案：D解析：当m0时，QP；当m0时，由QP知，x1或x1，得m1或m1.2.答案：B解析：由题意得MN4，5，MN2，3，4，5，6，7U，（UN）M3，4，5，7U，（UM）N2，6N，综上所述，选B.3.答案：C4.a15.答案：D解析：依题意，结合韦恩图分析可知，集合AB的元素个数是mn，选D.6.答案：A解析：Bx|1x1，ABx|1x2.7.答案：C解析：2020（AB），即2020A且2020B ，故选C.8.答案：B解析：Px|log2x1（0，2），Qx|x2|1（1，3），则PQ（0，1.
