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1、要点梳理1 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表 7 2一元二次不等式及其解法 基础知识自主学习 2 用程序框图来描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法过程为 x x x1 x x R x xx2 x x1 x x2 基础自测1 不等式的解集为 A B C D 解析不等式同解于又 相应方程的两根为故原不等式的解集为答案A 2 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 A 6B 5C 6D 5解析因x 1 是方程ax2 bx 1 0的两根 a 3 b 2 ab 6 C 3 2009 四川理 1 设集合S x x 5 T x
2、x2 4x 21 0 则S T A x 7 x 5 B x 3 x 5 C x 5 x 3 D x 7 x 5 解析S x 5 x 5 T x 7 x 3 S T x 5 x 3 C 4 不等式的解集是 A 1 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 x 2 x 1 0且x 1 1 x 2 D 5 若集合A x ax2 ax 10时 相应二次方程中的 a2 4a 0 解得0 a 4 综上得 a 0 a 4 D 题型一一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 2x2 4x 3 0 2 3x2 2x 8 0 3 8x 1 16x2 首先将二次项系数转化为正数 再看二次三项式能否因式分
3、解 若能 则可得方程的两根 大于号取两边 小于号取中间 若不能 则再看 利用求根公式求解方程的根 而后写出解集 题型分类深度剖析 思维启迪 解 1 42 4 2 3 16 24 8 0 方程2x2 4x 3 0没有实根 2x2 4x 3 0的解集为 2 原不等式等价于3x2 2x 8 0 x 2 3x 4 0 x 2或x 不等式的解集为 2 3 原不等式等价于16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 只有当4x 1 0 即时不等式成立 故不等式解集为 探究提高解一元二次不等式的一般步骤是 1 化为标准形式 2 确定判别式 的符号 3 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二
4、次方程无根 4 结合二次函数的图象得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式 则可立即写出不等式的解集 知能迁移1解下列不等式 解 1 两边都乘以 3 得3x2 6x 20 且方程3x2 6x 2 0的解是所以原不等式的解集是 2 方法一 原不等式即为16x2 8x 1 0 其相应方程为16x2 8x 1 0 8 2 4 16 0 上述方程有两相等实根结合二次函数y 16x2 8x 1的图象知 原不等式的解集为R 方法二8x 1 16x2 16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 x R 不等式的解集为R 题型二含参数的一元二次不等式的解法 例2 已知不等式 a R
5、 1 解这个关于x的不等式 2 若x a时不等式成立 求a的取值范围 讨论a的取值 首先看是否可化为一元二次不等式 其次看根的大小 思维启迪 解 1 原不等式等价于 ax 1 x 1 0 当a 0时 由 x 1 0 得x0时 不等式化为解得x 当a 0时 不等式化为若即 1 a 0 则若即a 1 则不等式解集为空集 若即a 1 则 综上所述 a0时 解集为 2 x a时不等式成立 即 a 11 即a的取值范围为 1 探究提高 1 含参数的一元二次不等式可分为两种情形 一是二次项系数为常数 参数在一次项或常数项的位置 此时可考虑分解因式 再对参数进行讨论 若不易分解因式 则要对判别式 分类讨论
6、分类应不重不漏 二是二次项系数为参数 则应考虑二次项系数是否为0 然后再讨论二次项系数不为0的情形 以便确定解集的形式 注意必须判断出相应方程的两根的大小 以便写出解集 2 含参数不等式的解法问题 是高考的重点内容 主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想 知能迁移2解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 解原不等式可变形为 x a x a2 0 则方程 x a x a2 0的两个根为x1 a x2 a2 当aa2 此时原不等式的解集为 x xa2 当0a2 xa 此时原不等式的解集为 x xa 当a 1时 有a2 a xa2 此时原不等式的解集为 x xa2 当a 0时 有x 0 原不
7、等式的解集为 x x R且x 0 当a 1时 有x 1 此时原不等式的解集为 x x R且x 1 综上可知 当a1时 原不等式的解集为 x xa2 当0a 当a 0时 原不等式的解集为 x x 0 当a 1时 原不等式的解集为 x x 1 题型三一元二次不等式的应用 例3 某种商品 现在定价p元 每月卖出n件 设定价上涨x成 每月卖出数量减少y成 每月售货总金额变成现在的z倍 1 用x和y表示z 2 设y kx 0 k 1 利用k表示当每月售货总金额最大时x的值 3 若求使每月售货总金额有所增加的x值的范围 通过代数化简 将问题转化成解一元二次不等式问题 思维启迪 解 1 按现在的定价上涨x成
8、时 上涨后的定价为元 每月卖出数量为件 每月售货总金额是npz元 因而所以 2 在y kx的条件下 整理可得由于0 k 1 所以所以使z值最大的x的值是 3 要使每月售货总金额有所增加 即z 1 应有即x x 5 0 解得0 x 5 所以所求x的范围是 0 5 不等式应用题常以函数的模型出现 多是解决现实生活 生产 科技中的最优化问题 在解题中涉及到不等式的解及有关问题 解不等式的应用题 要审清题意 建立合理 恰当的数学模型 这是解不等式应用题的关键 探究提高 知能迁移3国家为了加强对烟酒生产的宏观调控 实行征收附加税政策 现知某种酒每瓶70元 不征收附加税时 每年大约产销100万瓶 若政府征
9、收附加税 每销售100元要征税R元 叫做税率R 则每年的销售收入将减少10R万瓶 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元 问R应怎样确定 解设每年销售量为x万瓶 则销售收入为每年70 x万元 从中征收的税金为70 x R 万元 其中x 100 10R 由题意 得70 100 10R R 112 整理 得R2 10R 16 0 36 0 方程R2 10R 16 0的两个实数根为x1 2 x2 8 然后画出二次函数y R2 10R 16的图象 由图象得不等式的解为2 R 8 题型四一元二次不等式的恒成立问题 例4 12分 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成
10、立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 1 由于二次项系数含有字母 所以首先讨论m 0的情况 而后结合二次函数图象求解 2 转换思想将其看成关于m的一元一次不等式 利用其解集为 2 2 求参数x的范围 思维启迪 解 1 不等式mx2 2x m 1时 不等式恒成立 不满足题意 3分当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即综上可知不存在这样的m 6分 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围
11、7分设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 探究提高 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 知能迁移4已知f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解方法一f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 结合图象知 f x 在
12、1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得a 3 又a 1 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 2 a 1 又a 1 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 a 1 方法二由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 令g x x2 2ax 2 a 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 1 解一元二次不等式时 首先要将一元二次不等式化成标准型 即ax2 bx c 0或ax2 bx c0 如解不等式6 x2 5x时首先化为x2 5x 60或ax2 bx c0
13、与一元二次方程ax2 bx c 0的关系 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 知道一元二次方程ax2 bx c 0的根可以写出对应不等式的解集 2 知道一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0或ax2 bx c 0的解集 1 一元二次不等式的界定 对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0它实际上是一个一元一次不等式 只有当a 0时它才是一个一元二次不等式 2 当判别式 0 a 0 解集为R ax2 bx c0 解集为 二者不要混为一谈 失误与防范 一 选择题1 2009 陕西理 1 若不等式x2 x 0的解集为M 函数f x ln 1
14、x 的定义域为N 则M N为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 0 解析不等式x2 x 0的解集M x 0 x 1 f x ln 1 x 的定义域N x 1 x 1 则M N x 0 x 1 定时检测 A 2 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是则不等式x2 bx a 0的解集是 A 2 3 B 2 3 C D 解析由题意知是方程ax2 bx 1 0的根 所以由韦达定理得解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即为x2 5x 6 0 解集为 2 3 A 3 已知p 关于x的不等式x2 2ax a 0的解集是R q 10的解集是R等价于4a2 4a 0 即 1 a 0 C 4 设
15、命题p 2x 3 1 q 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析不等式 2x 3 1的解是1 x 2 不等式的解是1 x 2 A 5 设f x 若f t 2 则实数t的取值范围是 A 1 4 B 2 3 C 4 1 D 0 3 解析由题意知t2 2t 1 2且t 0 或 2t 6 2且t3或t 0 D 6 在R上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x恒成立 则 A 1 a 1B 0 a 2C D 解析依题设得x a x2 a2 1恒成立 C 二 填空题7 若函数f x 是定义在 0 上的增函数 且对一切x 0 y
16、 0满足f xy f x f y 则不等式f x 6 f x 0 x 0 所以0 x 2 0 2 8 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围是 解析令f x x2 ax a2 1 二次函数开口向上 若方程有一正一负根 则只需f 0 0 即a2 1 0 1 a 1 1 a 1 9 已知函数f x x2 2x b2 b 1 b R 若当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是 解析依题意 f x 的对称轴为x 1 又开口向下 当x 1 1 时 f x 是单调递增函数 若f x 0恒成立 则f x min f 1 1 2 b2 b 1 0 即b2 b 2 0 b 2 b 1 0 b 2或b 1 b 2或b 1 三 解答题10 解不等式 解原不等式等价于解 得x2 3x 0 即 3 x 0 解 得x 1或x 故原不等式的解集为 11 解关于x的不等式ax2 2 2x ax a R 解原不等式变形为ax2 a 2 x 2 0 1 当a 0时 原不等式变为 2x 2 0 故其解集为 x x 1 2 当a 0时 不等式即为 ax 2 x 1 0 当a 0时
