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1、2 3 4平面与平面垂直的性质 复习回顾 利用定义 作出二面角的平面角 证明平面角是直角 A B 线面垂直 面面垂直 线线垂直 面面垂直的判定 思考3垂足为B 那么直线AB与平面 的位置关系如何 为什么 垂直 AB BE 又由题意知AB CD 且BECD B 垂足为B AB 则 ABE就是二面角的平面角 证明 在平面内作BE CD 平面与平面垂直的性质定理 符号表示 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线 作用 它能判定线面垂直 它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线 关键点 线在平面内 线垂直于交线 思考4设平面 平面 点P在平面
2、内 过点P作平面的垂线a 直线a与平面具有什么位置关系 a a 直线a在平面内 A b a l B 垂直 A b a l 分析 寻找平面 内与a平行的直线 解 在 内作垂直于交线的直线b a b 又 a 即直线a与平面 平行 结论 垂直于同一平面的直线和平面平行 A b a l 分析 作出图形 法二 法一 在 内作直线a n 证法1 设 在 内作直线b m 在 内过A点作直线a n 证法2 设 在 内过A点作直线b m 同理 在 内任取一点A 不在m n上 如果两个相交平面都垂直于另一个平面 那么这两个平面的交线垂直于这个平面 结论 判断线面垂直的两种方法 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂
3、直 如图 两个平面垂直应用举例 例题1如图4 AB是 O的直径 点C是 O上的动点 过动点C的直线VC垂直于 O所在平面 D E分别是VA VC的中点 直线DE与平面VBC有什么关系 试说明理由 解 由VC垂直于 O所在平面 知VC AC VC BC 即 ACB是二面角A VC B的平面角 由 ACB是直径上的圆周角 知 ACB 90 因此 平面VAC 平面VBC 由DE是 VAC两边中点连线 知DE AC 故DE VC 由两个平面垂直的性质定理 知直线DE与平面VBC垂直 注意 本题也可以先推出AC垂直于平面VBC 再由DE AC 推出上面的结论 例2 S为三角形ABC所在平面外一点 SA
4、平面ABC 平面SAB 平面SBC 求证 AB BC 证明 过A点作AD SB于D点 平面SAB 平面SBC AD 平面SBC AD BC 又 SA 平面ABC SA BC AD SA A BC 平面SAB BC AB 练习1 如图 以正方形ABCD的对角线AC为折痕 使 ADC和 ABC折成相垂直的两个面 求BD与平面ABC所成的角 A B C D D A B C O O 折成 2 如图 平面AED 平面ABCD AED是等边三角形 四边形ABCD是矩形 1 求证 EA CD M 2 若AD 1 AB 求EC与平面ABCD所成的角 2012 北京模拟 如图 正方形ADEF与梯形ABCD所在的
5、平面互相垂直 AD CD AB CD AB AD 2 CD 4 M为CE的中点 1 求证 BM 平面ADEF 2 求证 平面BDE 平面BEC 证明 1 取DE中点N 连接MN AN 在 EDC中 M N分别为EC ED的中点 所以MN CD 且MN CD 由已知AB CD AB CD 所以MN AB 且MN AB 所以四边形ABMN为平行四边形 所以BM AN 又因为AN 平面ADEF 且BM平面ADEF 所以BM 平面ADEF 2 因为四边形ADEF为正方形 所以ED AD 又因为平面ADEF 平面ABCD 且平面ADEF 平面ABCD AD 又因为ED 平面ADEF 所以ED 平面ABC
6、D 所以ED BC 在直角梯形ABCD中 AB AD 2 CD 4 可得BC 在 BCD中 BD BC CD 4 所以BC BD BD ED D 所以BC 平面BDE 又因为BC 平面BCE 所以平面BDE 平面BEC 总结提炼 已知面面垂直易找面的垂线 且在某一个平面内 解题过程中应注意充分领悟 应用 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 线面垂直 面面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 线线垂直 线面垂直 线线平行 面面平行 面面垂直 垂直 平行关系小结 2 面面垂直的性质推论 1 平面与平面垂直的性质定理 a
