《2020届高中数学《直线的方程（二）》导学案 北师大版必修2（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高中数学《直线的方程（二）》导学案 北师大版必修2（通用）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时直线的方程(二)1.掌握直线的截距式方程和一般式方程,归纳直线方程的五种形式各自的特点及适用范围.2.能根据具体问题的特点选择恰当的直线方程解决问题.同学们,前面我们学习了直线的点斜式,斜截式,两点式,可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下,在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.问题1:直线方程的截距式(1)通常称为直线方程的截距式.其中,a为直线在x轴上的截距,b为直线在y轴上的截距,且a0,b0.截距式是两点式的特殊情况.(2)“截距”是直线与坐标轴交点的横(纵)坐标,有正有负.而“距离”是一个非负数,两者是不同的概念.问题2:(1
2、)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.(2)当B0时,其斜率是,在y轴上的截距是-CB;当B=0时,这条直线垂直于x 轴,没有斜率;特别地,当A=0时,直线垂直于y轴,斜率为0.问题3:直线方程的五种形式及适用的条件?(1)点斜式:已知直线过点P(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),其存在条件是斜率存在.(2)斜截式:已知直线的斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线方程为y=kx+b,其存在条件是斜率存在,它是点斜式的特殊情形.(3)两点式:已知直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线方
3、程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,其存在条件是x1x2,且y1y2,它是由点斜式推得的.(4)截距式:已知直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b,则直线方程为xa+yb=1,其存在条件是截距存在且不为0,它是两点式的特殊情形.(5)一般式:任何直线方程均可表示为Ax+By+C=0(其中A、B不全为0)的形式,在求直线方程时,常把结果整理为一般式.问题4:如何求直线的方程?(1)待定系数法:待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法之一.(2)方程形式的选择:已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式.与ax+by+c=0(a、b不同时为0)平行
4、的直线可设为ax+by+m=0(mc).与ax+by+c=0(a、b不同时为0)垂直的直线可设为bx-ay+p=0.注意:涉及斜率时要讨论存在和不存在的情况;涉及截距时要讨论为0和不为0的情况.1.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为().A.4(x+2)-y+1=0B.4x-y+9=0C.y=4x+9D.y-1x+2=42.直线l:2x-y+1=0不经过().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.直线2x+3y-6=0的斜率是,在y轴上的截距是,它的截距式方程是.4.直线4x+3y+d=0与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求此直线在x轴上的截距.考查截距求经过点A (-3,
5、4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.求直线的一般式方程根据下列条件求解直线的一般式方程:(1)直线的斜率为2,且经过点A(1,3);(2)斜率为3,且在y轴上的截距为4;(3)经过两点A(2,-3),B(-1,-5);(4)在x,y轴上的截距分别为2,-4.考查直线系方程已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.已知直线l过点P(-5,4),且与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.根据下列各条件写出直线的一般式方程.(1)斜率是-12,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4
6、,2),平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是32、-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值.(1) l在x轴上的截距是-3;(2) l的斜率是-1.1.如果直线l:Ax+By+C=0的倾斜角为45,则有().A.A=BB.A=-BC.AB=1D.AB=-12.若a-b+c=0,则直线ax+by+c=0必经过的一个定点是().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)3.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a=.4.已知直线ax+by+
7、c=0,其中a,b,c同号,求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.(2020年上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0,与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是().A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2考题变式(我来改编):第3课时直线的方程(二)知识体系梳理问题1:(1)xa+yb=1x轴y轴(2)横(纵)坐标非负数问题2:(1)Ax+By+C=0(2)-ABx y0基础学习交流1.By-1=4(x+2)y-1=4x+84x-y+9=0.2.D直线l:2x-y+1=0与x轴、y轴的交点分别为(-12,0)、(0,1),则直线l不经过第四象限.故选D.3.-232
8、x3+y2=1直线2x+3y-6=0可化为y=-23x+2,故斜率为-23,在y轴上的截距为2,截距式方程为x3+y2=1.4.解:令x=0,y=0得直线在y轴,x轴上的截距分别为-d3,-d4.12|-d3|-d4|=6,解得d=12,直线在x轴上的截距为3或-3.重点难点探究探究一:【解析】设方程为xa+y-a=1.将A(-3,4)代入上式,有-3a+4-a=1,解得a=-7.代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.问题上述解法正确吗?当直线l在坐标轴上的截距互为相反数时,方程一定为xa+y-a=1吗?结论不一定,0的相反数也为0,但分母不能是0.于是,正确解答如下:当直线l在坐标轴上的截
9、距都不为零时,设其方程为xa+y-a=1.将A(-3,4)代入方程,有-3a+4-a=1,解得a=-7,代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为y=kx.将A(-3,4)代入方程,得4=-3k,即k=-43.所求直线方程为y=-43x,即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x-y+7=0或4x+3y=0.【小结】涉及在两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系,互为相反数关系等)时,不要遗漏截距均为零这一情形.探究二:【解析】 (1)因为k=2,且经过点A(1,3),由直线的点斜式可得y-3=2(x-1),整理可得直线的一般式方程为2x-y+1=0.(
10、2)由直线的斜率k=3,且在y轴上的截距为4,故直线的斜截式为y=3x+4,整理可得直线的一般式方程为3x-y+4=0.(3)由直线的两点式可得y-(-3)-5-(-3)=x-2-1-2,整理得直线的一般式方程为2x-3y-13=0.(4)由直线的截距式可得x2+y-4=1,整理得直线的一般式方程为2x-y-4=0.【小结】利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时,一定要注意每种方程形式的适用范围,要注意对斜率是否存在,截距是否为0进行分类讨论,最后将方程形式转化为一般式.探究三:【解析】(1)直线l的方程可化为y-35=a(x-15),直线l的斜率为a,且过定点A(15,35
11、),而点A(15,35)在第一象限内,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.(2)直线OA的斜率为k=35-015-0=3.如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率akOA=3,a的取值范围为3,+).【小结】含有一个参数的直线方程,一般是过定点的,这里对一般式灵活变形是解决问题的关键.思维拓展应用应用一:由已知得直线在两坐标轴上的截距不为0,可设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),由直线l过点P(-5,4),得-5a+4b=1.直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5,即12ab=5,ab=10.解得a=5,b=2.直线l的方程为x5+y2=1,即2x+5y-10=0.应用二:(1)
12、由点斜式得y-(-2)=-12(x-8),化成一般式为x+2y-4=0.(2)由斜截式得y=2,即一般式为y-2=0.(3)由截距式得x32+y-3=1,即一般式为2x-y-3=0.(4)由两点式得y-(-2)-4-(-2)=x-35-3,即一般式为x+y-1=0.应用三:(1)由题意得m2-2m-30,2m-6m2-2m-3=-3,由可得m-1且m3.由得m=3或m=-53,m=-53.(2)由题意得2m2+m-10,-m2-2m-32m2+m-1=-1.由得m-1且m12.由得m=-1或m=-2.m=-2.基础智能检测1.B直线l的斜率k=-AB,又k=tan 45=1,得A=-B.故选B.2.C由a-b+c=0,知点(1,-1)满足方程ax+by+c=0.故选C.3.-2或1由题意知a0,令x=0,得y=2+a;令y=0,得x=a+2a,故2+a=a+2a,解得a=-2或a=1.4.解:设直线与x轴交于点A(-ca,0),与y轴交于点B(0,-cb),所以SAOB=12|-ca|-cb|=c22ab.全新视角拓展C当k=3时,两直线平行,当k3时,由两直线平行斜率相等,得:3-k4-k=k-3,解得k=5.思维导图构建y-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1x2,y1y2)
