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1、旧知回顾 平均变化率的定义 我们把式子称为函数f x 从到的平均变化率 averagerateofchange 平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态 那么用什么来衡量物体的状态呢 汽车在每一刻的速度怎么知道呢 3 1 2导数的概念 教学目标 知识与能力 1 体会导数的思想及其内涵 2 能根据导数定义 求函数的导数 3 理解瞬时速度的概念 过程与方法 1 体会导数的思想及其内涵 通过分析实例 了解导数概念的实际背景 知道瞬时变化率就是导数 2 通过函数图象直观地理解导数的意义 情感态度与价值观 能够在已有的经验 生活经验 数学学习经验 的基础上 更好的学习瞬时速度 导数等概念 教学重难点
2、重点 体会导数的思想及其内涵 形成导数概念 难点 导数的概念及其内涵 瞬时速度的概念 在高台跳水运动中 运动员在不同时刻的速度是不同的 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 instaneousvelociy 平均速度反映了物体运动时的快慢程度 但要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度 也即需要通过瞬时速度来反映 瞬时速度与平均速度的区别 例题1 已知物体作变速直线运动 其运动方程为s s t 表示位移 t表示时间 求物体在t0时刻的速度 物体的运动规律是s s t 那么物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时的平均速度 物体作自由落体
3、运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在t 2 s 时的瞬时速度 例题2 解 1 将 t 0 1代入上式 得 你做对了吗 即物体在时刻t0 2 s 的瞬时速度等于20 m s 当时间间隔 t逐渐变小时 平均速度就越接近t0 2 s 时的瞬时速度v 20 m s 从而平均速度的极限为 还记得上节课讲的关于高台跳水问题吗 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系 例题3 通过列表看出平均速度的变化趋势 知道了瞬时速度的概念 那么在高台跳水运动中 如何求 比如 t 2 运动员的
4、瞬时速度 t 0时 在 2 t 2 这段时间内 当 t 0 01时 13 051 当 t 0 001时 13 0951 当 t 0 0001时 13 09951 当 t 0 00001时 13 099951 当 t 0 000001时 13 0999951 t 0时 在 2 2 t 这段时间内 当 t 0 01时 13 149 当 t 0 001时 13 1049 当 t 0 0001时 13 10049 当 t 0 00001时 13 100049 当 t 0 000001时 13 1000049 观察当趋近于0时 平均速度有什么样的变化 我们发现 当趋近于0时 即无论t从小于2的一边 还是
5、从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近于一个确定的值 13 1 我们用表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋于确定值 13 1 那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率又怎么表示 导数定义 一般地 函数在处的瞬时变化率是 我们称它为函数在处的导数 derivative 一般将导数记作 或者 即 表示函数y关于自变量x在处的导数 有极限 f x 在点x0处可导 f x 在点x0处的导数 概念理解 是函数f x 在以x0与x0 x为端点的区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 上的平均变化率 而导数则是函数f x 在点x0处的变化率 它反映了函数随
6、自变量变化而变化的快慢程度 概念理解 知识补充 事实上 导数也可以用下式表示 如果函数y f x 在点x x0存在导数 就说函数y f x 在点x0处可导 如果极限不存在 就说函数f x 在点x0处不可导 知识补充 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 取极限 求得导数 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 注意 例题4 求函数y x2在x 1处的导数 课堂小结 1 瞬时速度的定义 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 2 导数的定义 一般地 函数在处的瞬时变化率是 我们称它为函数在处的导数 derivative 3 求导数的步骤 1 求 y 若f x0 2 则 1 随堂练习 1 设函数f x 可导 则 A B C 不存在 D 以上都不对 B 2 求函数y x 1 x在x 2处的导数 3 4 已知函数在处的附近有定义 且 求的值 设函数f x 在点x0处可导 求下列极限值 5 习题答案 练习 第6页 解 在第3h和第5h时 原油温度的瞬时变化率就是f 3 和f 5 根据导数的定义 说明在第3h附近 原油的温度大约以1 h的速率下降 原油温度以大约以3 h的速率上升 再见
