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1、市长宁嘉定区2019届高三二模数学试卷2019.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合，则_2. 已知复数满足（是虚数单位），则_3. 已知线性方程组的增广矩阵为，解为，则_4. 在的二项展开式中，项的系数为_5. 已知圆锥的主视图为图所示，则该圆锥的侧面积是_6. 已知实数、满足，则的最大值为_7. 设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程解为_8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为_（结果用数值表示）9. 已知直线（为参数）与抛物线相
2、交于、两点，若线段中点的坐标为，则线段的长为_10. 在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，则的最小值为_11. 已知有穷数列共有项，记数列所有项的和为，第二及以后所有项的和为， ，第（）及以后所有项的和为，若是首项为1公差为2的等差数列前项的和，则当时，_12. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，若对于任意，都有，则实数的取值围为_二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知，则“”是“”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，
3、下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）A. 2015年第三季度环比有所提高 B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度环比有所提高15. 已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间，过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是（ ）A. 圆的
4、一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分16. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，“类三角形”一定满足（ ）A. 有一个角为30 B. 有一个角为45C. 有一个角为60 D. 有一个角为75三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正四棱柱的底面边长为1，与底面所成角为.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.18. 已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期，及函数在上的递减区间.19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用
5、年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（毫米）满足关系：（），设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）解释的实际意义，并求的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、, 过的直线与椭圆交于、两点.（1）求的周长；（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标；（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点. 求面积的最大值.21. 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令.（1）若
6、，写出、的值；（2）设，若，求的值，及时数列的前项和；（3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”.参考答案一. 填空题1. 2. 5 3. 3 4. 215. 6. 2 7. 8. 9. 8 10. 11. 12. 二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：（1）因为是正四棱柱，所以底面 为正方形，平面， 1分所以就是与底面所成角，即. 3分进而得， 4分 8分（2）因为，所以就是异面直线与所成角， 2分由知，所以异面直线与所成角为 4分18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满
7、分8分）解：（1）因为，且，所以， 3分所以 6分（2） 1分 3分所以的最小正周期为 5分当时，再由得，函数在上的递减区间为 7分19（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元2分设隔热层建造厚度为毫米，则 7分（2） 3分当，即时取等号 所以当隔热层厚度为时总费用最小70万元. 5分如果不建隔热层，20年业主将付能源费万元，所以业主节省90万元. 7分20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）椭圆的长轴长为4，由椭圆定义知，的周长为8； 4分（2）由椭圆方程得， 2分设，由，
8、得， 3分点线段上，所以满足方程为 4分将式代入，得， 5分代入椭圆方程，得，因为，所以. 6分（3）设，直线的方程为.则点的坐标为，直线的方程为， 3分将直线方程代入椭圆方程得：，则， 所以 ， 5分 所以面积的最大值为 . 6分21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为，所以，.所以，. 4分（2），.当时，无解；当时，无解；当时，解得；当时，无解. 2分此时，当时，所以当时递增， 4分，所以当时， 6分（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；都有，所以数列是等差数列. 2分充分性：数列是等差数列，设其公差为.则，由题意知，. .3分当时，对任意都成立，即，所以是递增数列，所以是公差为的等差数列 .5分当时，进而，所以是递减数列，所以是公差为的等差数列 6分当时，因为与中至少有一个为0，所以二者都为0.进而得为常数列.综上，充分性成立. 8分
