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1、2017学年第二学期普陀区高三数学质量调研2018.4考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写、号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 抛物线的准线方程为_.2. 若函数是奇函数，则实数_.3. 若函数的反函数为，
2、则函数的零点为_.4. 书架上有上、中、下三册的白话史记和上、下两册的古诗文鉴赏辞典，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册白话史记的不同摆放种数为_（结果用数值表示）.5. 在锐角三角形中，角、的对边分别为、，若，则角的大小为_.6. 若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_.7. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年该单位在此种保险中获赔的概率为_（结果用最简分数表示）.8. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数
3、），椭圆的参数方程为（为参数），则直线与椭圆的公共点坐标为_.9. 设函数（且），若是等比数列（）的公比，且，则的值为_.10. 设变量、满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数的取值围是_.11. 设集合，若，则实数的取值围是 .12. 点，分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：，则的最大值为_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ）第14题图 14. 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面直径与
4、该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为 （ ） 15. 设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是“该数列公差”的 （ ）充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件16. 已知，若，则对此不等式描叙正确的是 （ ）若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小
5、题满分8分ADBCA1B1C1D1E第17题图如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，且().（1）当时，求三棱锥的体积；（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分 已知函数，.（1）若函数在区间上递增，数的取值围；（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分第19题图某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示.已知是东西方向主干道边两个景点，是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为
6、，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上的任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系.（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点的位置？ 20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）若函数，数和的值；（2）当时，若，求函数在闭区间上的值域；（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分
7、，第3小题8分.若数列同时满足条件：存在互异的使得（为常数）；当且时，对任意都有，则称数列为双底数列. （1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ； ； （2）设，若数列是双底数列，数的值以及数列的前项和；（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.普陀区2017学年第二学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题123456789101112二、选择题13141516三、解答题17.（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，则 4分. 6分 （2）以为原点，射线、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图）， 2分则，即， 4分
8、又异面直线与所成角的大小为，则, 6分化简整理得，又，即. 8分18.（1），2分，4分当时，则，又函数在上递增，则，即，7分则实数的取值围为. 8分（2）若函数的图像关于点对称，则， 2分即（），则，4分由得，则点的坐标为. 6分19.（1）因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点，为左、右焦点的双曲线的左支，则其方程为， 3分因为线路段上的任意一点到的距离都相等，所以线路段所在曲线是以为圆心、以长为半径的圆，由线路段所在曲线方程可求得，则其方程为， 5分因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点、为上、下焦点的双
9、曲线下支，则其方程为， 7分故线路示意图所在曲线的方程为. 8分（2）设，又，则，由（1）得，即，3分则，即当时，则站点的坐标为，可使到景点的距离最近.6分20（1）由得，对恒成立，即对恒成立，则，2分即. 4分（2）当时，2分当时，即，由得，则，3分当时，即，由得，则， 4分当时，即，由得， 5分综上得函数在闭区间上的值域为. 6分（3）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，当时，则，即.2分由得，则函数是以为周期的函数. 3分当时，则，即.5分即，则函数是以为周期的函数.故满足条件的函数为周期函数. 6分（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，当时，对，有，对，有，则不可能；当时，即，由的值域为得，必存在，使得，仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.21. （1）是双底数列，不是双底数列；4分（2）数列当时递减，当时递增，由双底数列定义可知，解得，2分当时，数列成等差，当时， ， 5分综上，.6分（3）， ， 2分若数列是双底数列，则有解（否则不是双底数列），即 ，3分得或或或故当时，当时，；当时，；当时，；从而 ，数列不是双底数列；同理可得：当时， ，数列不是双底数列；当时， ，数列是双底数列；当时， ，数列是双底数列；7分综上，存在整数或，使得数列为双底数列.8分
