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1、绝密启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学试题卷（文史类） 数学试题（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的、号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为，虚部为1 的复数所对
2、应的点位于复平面的（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限2.在等差数列中,，则（ ） 3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ） 4.下列函数为偶函数的是（ ） 5. 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的值为（ ） 6.已知命题 对任意，总有； 是方程的根 则下列命题为真命题的是（ ） 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12 B.18 C.24 D.308.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C
3、.4 D.9. 若的最小值是（ ）A. B. C. D.10. 已知函数有且仅有两个不同的零点，则实数的取值围是（ ）A. B. C. D.二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上.11.已知集合_.12.已知向量_.13. 将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则_.14. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且 ，则实数的值为_.15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小与小王在早上7:307:50之间到校，且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的，则小比小王至少早5分钟到校的概率为_（用数字作答）3、
4、 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16. （本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（I）求及；（II）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.17. （本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（I）求频率直方图中的值；（II）分别球出成绩落在与中的学生人数；（III）从成绩在的学生中人选2人，求此2人的成绩都在中的概率.18.（本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为，且 （1）
5、若，求的值; （2）若，且的面积，求 和的值.19.（本小题满分12分） 已知函数，其中，且曲线在点处的切 线垂直于 （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值。20. （本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）如题（20）图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上一点，且.（1） 证明：平面；（2） 若，求四棱锥的体积.21. 如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1） 求该椭圆的标准方程；（2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.试卷分
6、析与答案解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、实部为，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限解：由已知复数对应的坐标为，位于第二象限，选择2、在等差数列中,，则（ ） 解：由已知，选择3、某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，学科网用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ） 解：分层抽样保持比例不变，故，选择4、下列函数为偶函数的是（ ） 解：逐一验证知：为非奇非偶函数；为奇函数；为偶函数，选择5、执行右
7、图所示的程序框图，则输出的为（ ） 解：由已知：，选择6、已知命题对任意，总有； 命题是方程的根 则下列命题为真命题的是（ ） 解：因为真，假，为真，故为真，选择7、 某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（ ）A.12 B.18 C.24 D.30解：在长方体中构造几何体,如右图所示，经检验该几何体的三视图满足题设条件。其体积，选择8、设分别为双曲线的左、右焦点， 双曲线上存在点使得则该双曲线的离心率为（ ）B. B. C.4 D.解：由于，故，即，分解因式得：，故，从而，故，选择9、若的最小值为（ ）B. B. C. D.解：由于，故由可知，设，则：，当时取等号，选择10、已知函数有且仅
8、有两个不同的零点，则实数的取值围是（ ）B. B. C. D.解：等价于方程有两个根，即和的图像有两个交点，分别画出函数和的图像分析可知选择画图时必须注意到：的图像由左移一个单位，再下移三个单位得到。而过定点。交点有两种情况：的每个分段上各有一个交点；两个交点都在的图像上，后者以直线和相切为临界状况。二、填空题11、已知集合_.解：易知12、已知向量_.解：13、将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的个单位得到的图像，则_.解：作逆变换：将左移，再将横坐标伸长两倍可得的图像，故：，从而14、已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_.解：将圆配方得，故圆心
9、，半径，由已知为等腰直角三角形，故,圆心到直线的距离，所以：或15、某校早上8：00上课，假设该校学生小与小王在早上7:307:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小比小王至少早5分钟到校的概率为_ _（用数字作答）解：记为时刻，小，小王到校的时刻分别为，则这样的二维变量可与点建立对应，满足条件的形成一个边长为的正方形区域。由已知小比小王至少早5分钟满足关系：，由线性规划知此时形成一个三角形区域，其面积为，故所求概率为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，学科网证明过程或演算步骤.16、已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（1）求及；（
10、2）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.解：（1）由已知（2）由于，故公比满足故，17、20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（1）求频数直方图中的值；（2）分别球出成绩落在与中的学生人数；（3）从成绩在的学生中人选2人，求这2人的成绩都在中的概率.解：（1）因为所有频率之和等于1，故，解出（2）的学生人数为人；的学生人数为人；（3）记的学生为，的学生为，则从成绩在的学生中人选2人的选法共有10中，列举如下：其中2人的成绩都在中有三种：故所求概率为18、在中，角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且面积，求和的值.解：（1）由已知，由余弦
11、定理：（2）由已知整理得：即：面积由已知联立上面的三个式子解出19、已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。解：（1）由已知切线斜率，故，而故（2）此时，其中令得增区间；令得减区间；故当时具有极小值，没有极大值。20、如下图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上一点，且.（2） 证明：平面；（3） 若，求四棱锥的体积.（1）证明：由知为等边三角形，故,在中，,由余弦定理可求出，因为,因为底面因为,所以平面（2）设，则，在中由余弦定理因为，所以为直角三角形，由勾股定理：，解出四棱锥的体积21、如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.
12、（2） 求该椭圆的标准方程；（3） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，说明理由.解：（1）设，代入椭圆方程中求出，故，而由已知：，联立解出即，联立解出所以椭圆的标准方程为（3） 由于所求圆的圆心在轴上，故圆和椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点所作的切线也关于轴对称，如下图所示。当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个正方形。设圆心，圆的半径为，则由知：，另一方面由于为等腰直角三角形，故,所以，由几何关系，因为所以，再由，知所以圆的方程为，经检验符合题设要求。故存在这样的圆，其方程为
