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1、参考书 1 施吉林 刘淑珍 陈桂芝 计算机数值方法 第一版 北京 高等教育出版社 1999 2 吴勃英 王德明 丁效华 李道华 数值分析原理 第一版 北京 科学出版社 2003 3 陈传淼 科学计算概论 第一版 北京 科学出版社 2007 4 RainerKress NumericalAnalysis NewYork Springer Verlag 2003 数值分析 绪论 实际问题 建立数学模型 求解计算 应用于实践 抽象 简化 否 结束 解释实际问题 类型 方法 是 结果分析 数值分析研究的主要内容 是各类数学问题的近似解法 数值方法 是从数学模型 由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据
2、 出发 寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则 这种规则称为算法 它包括计算公式 计算方案和整个计算过程 这是一门与计算机紧密结合 实用性很强的数学课程 1 可行性 它只能包括计算机能够直接处理的加 减 乘 除和逻辑运算 以及计算机的内部函数 并能够在有限步结束 2 可靠性 它应该有数学理论分析的支持 包括误差分析 收敛性分析 数值稳定性分析等 使得近似解与精确解的误差可以任意地小 3 高效性 它应该具有计算量小 占用存储单元少 计算过程简单 规律性强等优点 算法应具有的特点 数值分析 课程主要介绍几类数学问题的经典算法 在学习中既要重视实际应用 又要重视有关理论 必须注意
3、理解算法的设计原理和处理技巧 重视基本概念和理论 误差分析 收敛性与稳定性 认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题 手算与上机计算相结合 同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力 数值计算方法涉及的基础数学课程较多 但在本课程中主要涉及微积分 线性代数 常微分方程等数学知识 引例例1 y arctan5430 arctan5429的准确值为 0 0000000339219 0 339 10 7 第一章引论 例2 计算下面积分的值 n 0 1 2 积分In的值必定落在区间 0 1 内 我们由被积函数及其图形作出判断 但是 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得y 1 5706122 1 57
4、06121 0 0000001 1 10 7 所得计算结果的可靠性值得怀疑 这一结果的产生是由于四舍五入造成的 由分部积分法可得 如果取I0 1 e 1 0 63212056 八位有效数字 n 1 2 4 6 8 10 15 利用递推公式进行计算得 例3 对于一元二次方程x2 109 1 x 109 0有两个精确的实根 x1 109 x2 1 如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式 其中的x2 0明显失真 这也是由于舍入误差造成的 直接进行计算则得 x1 109 x2 0 实际问题 建立数学模型 确定计算方法 编程上机 由抽象简化产生的模型误差及参数的观测误差 由计算方法本身产生的截断误差或称
5、方法误差 计算过程中产生的舍入误差 1误差的来源 例如用级数 的前三项计算sinx的近似值 则截断误差为 由于计算机的字长有限 用0 166667近似表示1 3 就会产生舍入误差 即取 2误差的概念 一 绝对误差与绝对误差限设x 为准确值 也称为真值 x的一个近似值 则称x x 为近似值x 的绝对误差 简称为误差 并记作e x x x 满足不等式 e x x x 的正数 称为近似值x 的绝对误差限 简称为误差限 在工程技术中常记作x x 例如 电压V 100 2 V V 100 V 是V的一个近似值 2 V 是V 的一个误差限 即 V V 2 V 对于两个数值x1 100 2 x2 10 1近
6、似值x1 100的绝对误差限 x1 2是近似值x2 10的绝对误差限 x2 1的两倍 但是 近似值100的偏差不超过2 而近似值10的偏差不超过1 哪个近似值的精度好呢 二 相对误差与相对误差限 设x的近似值为x 则称x 的绝对误差e x 与精确值x的比值为近似值x 的相对误差 并记作er x 一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关 还与精确值的大小有关 为此我们需要引入相对误差的概念 同样 由于精确值x经常是未知的 所以 需要另外的近似表达形式 我们注意如下公式的推导 即 作为近似值x 的相对误差 的正数 r 称为近似值x 的相对误差限 满足不等式 通常将 例如 x1 100 2的近似值x
7、1 100的相对误差为 而x2 10 1的近似值x2 10的相对误差为 因此 从相对误差来讲近似值x1 比x2 的精度要好 若近似值x 某位数数值的半个单位是其绝对误差限 而从该位数字到x 的最左边的非零数值数位止 共有n位数 则我们称这个近似值x 具有n位有效数字 例如 3 141592 x 3 14的绝对误差 e x 0 00159 0 01 1 2 即 4 所在的百分位的半个单位0 01 1 2是x 的绝对误差限 故x 的最左边的非零位数 个位 3 到百分位 4 共有三位 所以x 3 14具有3位有效数字 有效数字位数越多 近似值的绝对误差和相对误差就相对越小 反之亦然 三 有效数字及其
8、位数 3误差的传播规律 设x1 x2 分别为x1 x2的近似值 函数值y f x1 x2 的近似值用y f x1 x2 表示 利用函数f x1 x2 在点 x1 x2 处的二元泰勒展开公式 对y 的绝对误差和相对误差进行分析 近似值y 的绝对误差的近似表达式为 当x1 和x2 的绝对误差都较小时 y y f x1 x2 f x1 x2 在y 的绝对误差近似表达式的两端除以y 即可得到y 的相对误差的近似表达式 这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误差的传播规律 一般地讲 我们比较注意二元运算中的相关问题 以下对加 减 乘 除四则运算进行讨论 加 减法相关的误差公式 设f x1 x2 x
9、1 x2 乘法相关的误差公式 设f x1 x2 x1x2 设f x1 x2 除法相关的误差公式 例4 测得圆环的外径D1 10 0 05 cm 内径D2 5 0 1 cm 的近似值为 其中 D1 10 cm D2 5 cm 且已知 e D1 0 05 cm e D2 0 1 cm 则其面积 由近似公式可得S 的绝对误差限和相对误差限分别为 圆环面积的近似值S 68 905 cm2 的绝对误差限为1 5708 cm2 相对误差限为2 7 4数值运算中应注意的几个原则 再来看例2的积分问题 由递推公式In 1 nIn 1 n 1 2 可得In In 1 nn I0 I0 n 1 2 由n 惊人的发
10、散速度 只要 I0 I0 0 无论多小 则In In 就会无限地增大 如前面计算的结果 我们说这个算法不是好算法 一 选用数值稳定性好的算法 如果我们将递推公式转换为 进行如下实验 取N 20 IN 10 则计算结果为 当x1 和x2 两数相近时 y x1 x2 就会很小 即y 0 由两数差的相对误差估计式 二 相近两数避免相减 可以看出 er y 可能会很大 导致y 有效数字减少 引例1计算失真的原因就在于此 若将计算公式进行变换 就可能避免这种情况的发生 我们来看下面的计算过程 由于 则 3 3921911 10 8 这个计算结果是令人满意的 避免相近两数相减的方法随算式和条件的不同而各异
11、 例如 当x 0时 当 x 很小时 当然在无法改变算式的情况时 可以考虑增加计算过程中的有效数字的位数 等等 由于计算机的字长是有限的 对绝对值相差悬殊的两个数进行运算时 可能出现大数 吃掉 小数现象 从而影响结果的可靠性 三 警惕大数 吃 小数造成的危害 在例3的方程x2 109 1 x 109 0中 b 109 1 1000000001 0 1000000001 1010或 b 0 1000000000 1010 0 000000001 1010 109 若使用尾数八位的浮点计算机时 两结果的最后两位 01 必然消失 其计算的结果均为 b 109 同样 即大数109 吃掉 了小数1 根x2
12、 0不能令人满意 求出一个绝对值较大的根x1 然后利用公式x1x2 c a求出另外一个根x2 就可以保证所得到的一元二次方程ax2 bx c 0的两个根的精度都是可靠的 于是 如果先利用公式 可以看出 当x2趋于0时 比值的绝对误差有可能趋于 这就是绝对值相对较小的数不宜作除数的原因 在后面我们将看到相关的例子 四 绝对值相对较小的数不宜作除数 由两数之比的绝对误差限和相对误差限的估计式 应用这一原则 既可以提高解题效率 节省计算时间 又可以减少计算误差的积累 这不仅是数值计算中必须注意的原则 也是数值计算方法需要研究的重要内容之一 在数理统计中有一个重要且常用公式 五 简化计算步骤 减少运算次数 在计算平均值时很大可能会有舍入误差 后者可能产生的总误差明显好于前者可能产生的总误差 在数值计算中应引起我们的高度重视 误差分析是数值计算中一项重要的研究内容 本章的内容要求 1 理解误差的基本概念 2 掌握误差传播规律的近似公式 特别是四则运算中误差传播规律的相关公式 3 掌握数值运算中应注意的五个原则 4 充分理解课堂上所介绍的有关例题和习题中的相关问题 小结
