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1、1 量子力学课后习题详解 第一章量子理论基础 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律 能量密度极大值所对应的波长 m 与温度 T 成反比 即 m T b 常量 并近似计算 b 的数值 准确到二位有效数字 解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 1 以及cv 2 ddv vv 3 有 1 18 5 kT hc v v e hc c d c d d dv 这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 d 之间的辐射能量密度 本题关注的是 取何值时 取得极大值 因此 就得要求 对 的一 阶导数为零 由此可求得相应的 的值 记作 m 但要注意的是 还需要验证
2、对 的二阶导数在 m 处的取值是否小于零 如果小于零 那么前面求得的 m 就 是要求的 具体如下 0 1 1 5 1 18 6 kT hc kT hc e kT hc e hc 2 0 1 1 5 kT hc e kT hc kT hc e kT hc 1 5 如果令 x kT hc 则上述方程为 xe x 1 5 这是一个超越方程 首先 易知此方程有解 x 0 但经过验证 此解是平庸的 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得 x 4 97 经过验证 此 解正是所要求的 这样则有 xk hc T m 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 KmT m 3 109 2 这便是维恩位移定
3、律 据此 我们知识物体温度升高的话 辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动 这样便会根据热物体 如遥远星体 的发光颜色来判定 温度的高低 1 2 在 0K 附近 钠的价电子能量约为 3eV 求其德布罗意波长 解根据德布罗意波粒二象性的关系 可知 E hv h P 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子 2 cE e ax ax x xU 0 0 0 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 解 txU与 无关 是定态问题 其定态 S 方程 10 2 2 22 xExxUx dx d m 在各区域的具体形式为 2 0 111 2 22 xExxUx dx d m x 由于 1 3 方程中 由于 xU 要
4、等式成立 必须 0 1 x 0 2 x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去 方程 2 可变为0 2 2 22 2 2 x mE dx xd 令 2 2 2 mE k 得 0 2 2 2 2 2 xk dx xd 其解为kxBkxAxcossin 2 根据波函数的标准条件确定系数 A B 由连续性条件 得 0 0 12 32 aa 0 B 0sin kaA 3 2 1 0sin 0 nnka ka A x a n Ax sin 2 11 由归一化条件 1 2 dxx 得1sin 0 22 a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m 2 sinsin x a n a x
5、 a A sin 2 2 2 2 2 2 mE k 3 2 1 2 2 2 22 nn ma En 可见 E 是量子化的 对应于 n E的归一化的定态波函数为 axax axxe a n a tx tE i n n 0 0 sin 2 2 4 证明 2 6 14 式中的归一化常数是 a A 1 证 ax axax a n A n 0 sin 2 6 14 由归一化 得 12 aA ax a n n aA aA dxax a nA x A dxax a n A dxax a n Adx a a a a a a a a a a n 2 2 2 22 2 22 2 sin 2 cos 22 cos1
6、 2 1 sin1 归一化常数 a A 1 2 5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置 解 22 2 1 2 2 x xex 22 22 2 3 22 2 11 2 2 4 x x ex exxx 22 22 2 32 3 1x exx dx xd 令0 1 dx xd 得 xxx 1 0 由 1 x 的表达式可知 xx 0 时 0 1 x 显然不是最大几率的位置 22 22 251 4 22 2 62 2 4422 3 32222 3 2 1 2 x x exx exxxx dx xd 而 0 14 2 3 2 1 2 1 2 ax axU xU 0 0 0 运动 求束缚态 0 0UE 的
7、能级所满足的方程 解法一 粒子所满足的 S 方程为 2 2 22 xExxUx dx d 按势能 xU的形式分区域的具体形式为 x E x U x dx d 2 1101 2 22 ax 2 22 2 22 xEx dx d axa x E x U x dx d 2 3303 2 22 xa 整理后 得 0 2 1 2 0 1 EU 0 E 2 2 2 2 0 2 3 2 0 3 EU 令 2 2 2 2 0 2 1 2 2 E k EU k 则 0 1 2 11 k 0 2 2 22 k 0 1 2 13 k 15 各方程的解为 xkxk 3 222 xkxk 1 11 11 FeEe xk
8、cosDxksinC BeAe 由波函数的有限性 有 0 0 3 1 E A 有限 有限 因此 xk 3 xk 1 1 1 Fe Be 由波函数的连续性 有 13 FekaksinDkakcosCk a a 12 FeakcosDaksinC a a 11 aksinDkakcosCkBek a a 10 akcosDaksinCBe a a ak 1222232 ak 2232 2222 ak 121 22 ak 21 1 1 1 1 整理 10 11 12 13 式 并合并成方程组 得 0FekaDksinkaCkcosk0 0FeaDkcosaCksin0 00D aksinkaCkco
9、skBek 0 0aDkcosaCksinBe ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 解此方程即可得出B C D F 进而得出波函数的具体形式 要方程组 有非零解 必须 0 Bekaksinkakcosk0 eakcosaksin0 0aksinkakcoskek 0akcosaksine ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 16 ak2coskk2ak2sin kk e ak2sinkak2sinkak2coskk2 e aksinekakcosaksinek akcosekakcosaksinek ek ak
10、cosaksinekaksinekk akcosaksinekakcosekk e ekaksinkakcosk eakcosaksin 0akcosaksin ek ekaksinkakcosk eakcosaksin 0aksinkakcosk e0 2212 2 1 2 2 ak2 2 2 12 2 2221 ak2 2 2ak 222 ak 1 2 2ak 222 ak 1 ak 1 22 ak 2 22 2 ak 21 22 ak2 22 2ak 21 ak ak 12222 ak 22 22 ak 1 ak 12222 ak 22 2222 ak 1 1 11 111 11 111
11、 1 11 1 11 0 1 2 ak e 02cos22sin 2212 2 1 2 2 akkkakkk 即022 212 2 1 2 2 kkaktgkk为所求束缚态能级所满足的方程 解法二 接 13 式 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 17 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscosk k k k2 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscos 2 2
12、 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin 1 1 1 1 0 0 0 0coscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsin 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0 coscoscoscoss
13、insinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscos 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2
14、2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1
15、 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a ak k k kk k k ka a a ak k k kk k k kk k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a a
16、k k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k 解法三 11 13 sinsinsinsin2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2
