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1、证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易下面几种方法在证明不等式时也经常使用一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不
2、完全的用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确例如要证明不等式AB，先假设AB，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即AB不成立，而肯定AB成立对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：abcd；(ab)(cd)abcd；(ab)cdab(cd)中至少有一个不正确反证法：假设不等式、都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以不等式与不等式相乘，得：(ab)abcd
3、，由不等式得(ab)cdab(cd)()(cd)，ab0，4cd(ab)(cd)，综合不等式，得4cdabcd，3cdab，即cdab由不等式，得(ab)abcdab，即abab，显然矛盾不等式、中至少有一个不正确例2 已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0证明：反证法由abc0知a0，假设a0，则bc0，又abc0，bca0，即a(bc)0，从而abbcca = a(bc)bc0，与已知矛盾假设不成立，从而a0，同理可证b0，c0例3 若p0，q0，pq= 2，求证：pq2证明：反证法假设pq2，则(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故p
4、q (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假设pq2不成立，pq2例4 已知= xaxb，其中a、b是与x无关的常数，求证：|，|，|中至少有一个数不小于反证法一：假设|，|，|，由于= 1ab，= 42ab，= 93ab，=2，但是，2 = |2|2= 2，即22，矛盾，假设不成立，|，|，|中至少有一个数不小于反证法二：假设|，|，|，即 得：14a2b101，即2ab5，2ab4，显然与矛盾，因此，假设是不成立的，故|，|，|中至少有一个数不小于例4 设a，b，c均为小于1的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a
5、不能同时大于证明：反证法假设(1a)b，(1b)c，(1c)a同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，则由(1a)b()，同理：，三个同向不等式两边分别相加，得，矛盾，所以假设不成立，原结论成立例6 若0a2，0b2，0c2，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同时大于1证明：反证法假设那么1，同理1，1，得33矛盾，即假设不成立，故(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同时大于1二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题若变量字母x的取值围与sin或cos的变化围相同，故可采用三
6、角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证一般地，题设中有形如xyr，= 1或= 1的条件可以分别引入三角代换 (| r |1)，或，其中的取值围取决于x，y的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果例2 已知1xy2，求证：xxyy3证明：1xy2，可设x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3，
7、 xxyy3例2 已知x2xyy2，求证：| xy |证明：x2xyy= (xy)y，可设xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|例3 已知1x1，n2且nN，求证：(1x)(1x)2证明：1x1，设x = cos (0)，则1x =1cos= 1(12sin) = 2sin，1x =1cos= 2cos，(1x)(1x)= 2sin2cos2( sincos) =2，故不等式(1x)(1x)2成立例4 求证：1x证明：1x0，1x1，故可设x = cos，其中0则x =cos= sinc
8、os=sin()，1sin()，即1x三、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简例7 已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)证明：a，bR，且ab = 1，设a =t，b=t， (tR)则(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)例8 已知aaa= 1，求证：证明：设a= t，a= t，a= t，其中ttt= 0，则= (t)(t)(t)= n2( ttt)=四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推
9、理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则是达不到目的利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败例5 设n为自然数，求证：证明：=()，(1)()() =(1)(1)()() =(1)例5 已知a=，其中n为自然数，求证：
10、n(n1)a(n1)证明：=对任意自然数k都成立，a=357(2n1) =(n2n)(n2n1) =(n1)又= k，a=123n =n(n1)，n(n1)a(n1)评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a的方法去根号而转化为等差数列的和放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度11设a、b为不相等的两正数，且ab= ab，求证：1a + b 证明：由题意得aabb= a + b，于是(ab)= a2abbaabb= a + b，故a + b1，又(ab)4ab，而(ab)= a2abb= ababab，即(ab)ab，解得a + b1a + b例12 已知a、b、c、d都是正数，求证：12证明：，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：12
