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1、101.4 随机变量的特征函数引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数显示其优越性一。141 特征函数的定义(1) 设 是定义在概率空间 上的随机变量，它的分布函数为 ，称X),(PFS )(xF的数学期望 为 的特征函数，记为 。juXe)(jueE(uCX当 为离散型随机变量时，其特征函数为： 1)()()i ijuxjuXPeECi当 为连续型随机变量时，其特征函数为：XjujuXX)()()(
2、2) 利用特征函数求概率密度函数 CexpXjux)(21)(证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。举例：例 1：求标准正态分布 的特征函数。)1,0(N22)() ujuxjuXX edeeEC142 特征函数的性质(1) 1)(X0(2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即：若 ，式中 为 个两两相互独立的随机变量，则nkXY1 nX,21nkXYuCk1)()(11(3) 求矩公式： 0)()(ukXkkdCjXE(4) 特征函数的级数展开 0!)()(nnXjuE143 特征函数应用举例例 1设 与 都服从标准正态分布 ，且相互独立， 求 的概率密
3、XY)1,(NYXZ度函数。解：用特征函数方法是最简单的方法。因为 ，所以 ，同样，)1,0(N2)(uXeC2)(uYeC由于 与 相互独立，于是XY2)()(uZuC 4221121 zujxZjux ededexp 即： ),0(NZ例 2：设随机变量 在 是均匀分布的，即X)2,(其 它01)(xxpX，求 的概率密度函数。sinYY解： dypeuCYjuyY)()( eEXxjuXjuj )(sinsin， dxyxdy21cos 21y12sin)()( depeuCjuXxjuY 12其 它011)(2yypY15 随机过程的概念及分类引言：随机变量是不确定事件的量化函数，变量
4、 由样本点 决定，但同时 还随时间XsX变化而变化，即： ，简记为 。t ),(stX)(t更一般地，在试验过程中，随机变量有可能随某个参量(不一定是时间 )的变化而变化。t我们把这种随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数，而把以时间 作为参变量的随机函数称为随机过程。151 随机过程的定义定义 1：设随机试验的样本空间是 ，若对于每个元素 ，总有一个确定的时间函数SSs， 与它相对应。这样对于所有的 ，就可以得到一族时间 的函数，),(stXT t将其称为随机过程。定义 2：对于每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称 是随机0t),(0stX),(stX过程。对随机过程的理解：在以 为横轴
5、， 为纵轴的坐标系中， 表现为有一定统t )(t计规律的曲线族(多条曲线，主要原因是因为 的取值不同 )。当 固定在 时， 可随机s0地取值( 有分布规律性)。如图：X 轴轴 t13具体有四种不同的情况：(1) 当 ， 都是可变量时， 是时间函数族；ts)(tX(2) 当 是可变量， 固定时， 是一个确定的时间函数；(3) 当 固定， 是可变量时， 是一个随机变量；ts)(t(4) 当 固定， 固定时， 是一个确定值。X152 随机过程的分类一、 按时间和状态分：(时间： 的取值情况，状态： 的取值情况。)tX连续型随机过程：当 固定时， 是连续型随机变量。t)(t离散型随机过程：当 固定时，
6、 是离散型随机变量。X连续型随机序列：当 取定时， 是连续型随机变量，但 只等间距取有限或t)(t t可数个值。离散型随机序列：当 取定时， 是离型随机变量，但 只等间距取有限或可t)(tt数个值。二、 按样本函数的形式分：不确定随机过程：如果任意样本函数的未来值，不能由过去观测值准确预测。确定的随机过程：如果任意样本函数的未来值，可以由过去观测值准确预测。即只要初值确定，其它值便确定，如 。)sin()(tAtX三、按随机过程的统计特性、分布函数的不同进行分类 平衡随机过程 高斯过程 马尔可夫过程 独立增量过程1416 随机过程的统计特征当 的取定后， 是一随机变量。对于随机变量，要研究它的
7、三大要素：分布t)(tX函数（概率密度） 、数字特征（期望、方差） 、特征函数。161 随机过程的概率分布一、一维概率分布设随机过程 在任一特定时刻 的取值 是一维随机变量，记)(tXt)(tX),(xPxFX称 为随机过程 的一维分布函数。),(txFX)(t如果 对于 的偏导数存在，则有xxtFtpXX),(),(称 为随机过程 的一维概率密度。),(txpX)(t二、二维概率分布设随机过程 在任意两个时刻 、 的取值 和 构成二维随机变量()(t1t2)(1tX2t， )，它们的联合概率 是取值 、 和时刻 、)(1tX2 ,)(xP12x1t的函数，记2 )(,)(),( 2121 x
8、tXttxFX称 为随机过程 的二维分布函数。),(21txFX(如果 对于 、 的二阶混合偏导数存在，则有1x221212 ),(),(xtFtpXX称 为随机过程 的二维概率密度。),(21txfXt三、多维概率分布设随机过程 在任意两个时刻 ， 的取值 , 构成多维)(t1t2nt)(1tX2)(ntX随机变量( )，它们的联合概率(,21nX15是取值 , , 和时刻 , , 的函数，)()(,)(21 nxtXxttXP 12xn1t2nt记 )(,)(,)(),( 212121 nnnX xtXxttPttF 称 为随机过程 的多维分布函数。,x X如果 对于 , , 的 阶混合偏
9、导数存在，则有),(2121nnXtt 1x2nnXnn xttFttxp 21212121 ),(,称 为随机过程 的多维概率密度。),(2121nnXttx )(t162 随机过程的数字特征一、数学期望随机过程 当 (取定 )时， 是一随机变量，因此可以计算数学期望。)(tX0t)(0tX定义： dxtptEtmXX),()()(称为随机过程 的数学期望，它是时间 的确定函数。)(t数学期望的几何描述：曲线族的中轴线。如图：二、均方值与方差16定义：随机过程 的二阶原点矩定义为)(tXdxtpEtX ),()(222称 为随机过程 的均方值。t二阶中心矩记作 ，)(2X dxtptmxtt
10、EtDt XXX ),()()( 222称之为随机过程 的方差。方差的几何描述。)(称 为中心化的随机过程。)(0tmtX三、自相关函数两个随机过程 和 可以有相同的期望和方差，但可以是完全不同类型的随)(tY机过程。自相关函数(简称相关函数)就是用来描述随机任意两个时刻的状态之间的内存联系的重要特征。定义：实随机过程 的自相关函数 定义为)(tX),(21tRX212121 ),),( dxtxpEtRX 它反映了 在任意两个时间 的状态之间的相关程度。如果 ，则1,t tt)(),(),(221XttXX实随机过程 的自协方差函数 定义为),21tK)()()(),( 22120121 t
11、mtXEtEtK XX 当 时，tt21 )(,(),(221tttXXX17 随机过程的特征函数一、一维特征函数随机过程在任一时刻 的取值 是一维随机变量。 的特征函数定义为：t)(tX)(tXeeEuCjuxtjuX,),(17式中， 为过程 的概率密度函数。),(txpX)(t与 构成一对会里叶变换，则有uCdutCetxpXjuxX),(21),(特征函数的用途：可以用 来求数字特征 ：uCEk0),()( ukXkk tjtE二、二维特征函数随机过程 在任意两个时刻 ， 的取值构成二维随机变量 ，它的特征)(tX1t2 )(,(21tX函数为： 2121)()(21 ),(),( 2121 xdtxpeeEtuC XxjujtXjutjuX 与 构成一对会里叶变换：xp,21tCX 2121)(221 ),()(,( 21 dutuCet XxujX二维特征函数的作用：用 求自相关),21tX ,21tR02121 21),(,( uXtR作业：p 181.5，1.6P35 2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.8, 2.10
