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1、X X X X 2012届毕业设计（论文）设计（论文）题目 斐波那契数列的研究 子课题题目 姓 名 XXX 学 号 XXX 所 属 系 XXX 专业年级 XXX 指导教师 XXX 2012 年 05 月摘要斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用这个数列既是数学美的完美体现又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系从而进一步激发了人们探索数学的兴趣对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各
2、个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。关键词：斐波那契数列 黄金分割 斐波那契数列在生活中的应用AbstractFibonacci sequence since its advent, continuously demonstrated its important role in mathematical theory and applications. And Fibonacci slope is satisfied that lease series in modern physical, and quasi crystal structu
3、re, and bio, and traffic, and chemical, area are has directly of application. this series is mathematics us of perfect reflected. and and many mathematics concept has close of contact, many looks seems to each other independent of mathematics concept, by Fibonacci wave that lease series, people foun
4、d has which of mathematics contact. to further fired has people exploration mathematics of interest. on mathematics of cognitive more systematic. On the study of the Fibonacci sequence is a very important study, it can bring to all disciplines very well not only useful, it will have a long-term impa
5、ct on our lives and prospects of the Fibonacci sequence are incalculable.Keywords: Fibonacci series The golden section Application of the Fibonacci sequence in the life目 录第一章 斐波那契数列11.1 斐波那契11.2斐波那契数列的引入-兔子问题11.3斐波那契数列通项公式的若干推导31.4斐波那契数列性质及其简单证明81.5人体中与斐波那契数列有关的知识9第二章 斐波那契数列与黄金分割112.1 何为黄金分割与黄金分割数11
6、2.2 二者之间的联系122.3 黄金分割律在股市中的运用12第三章斐波那契数列在生活中应用143.1斐波那契数列在几何上的应用143.2斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用143.3斐波那契数列在生物学上的应用15第四章 小结17参考文献：18谢 辞19第一章 斐波那契数列这一章主要讲的是斐波那契数列的发明者，产生的背景，人们对他的一些认识和研究，以及它的一些主要性质。1.1 斐波那契数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发明者。籍贯大概是比萨，因此，他被人称作“比萨的列昂纳多”。他于1202年，撰写了珠算原理（
7、Liber Abacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲在斐波那契小的时候被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻的地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。1.2 斐波那契数列的引入-兔子问题 问题是这样导入的：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢?(假设所有兔子都健康成长，中途不死掉) 兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那
8、么新出生的一对小兔子一年以后可以繁殖多少对兔子?图一表示兔子的繁殖规律，黑点表示一对小兔子，红点表示一对大兔子，黑线表示一对小兔子长大成为一对大兔子或者表示一对大兔子生出一对小兔子（如图1）：则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这个数列称为斐波那契数列这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。所以斐波那契数列的定义为：数列满足 ;则称此数列为斐波那契（Fibonacci）数列很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。它的通项公式为：斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，
9、故又称为“兔子数列”。又或者，斐波那契数列还可以由生活中一个很有意思的例子来引入：走楼梯问题。问题是这么提出的：问题：某人可以一步登一个台阶，也可以一步登二个台阶，问他登上n个台阶的方式又有多少种？解答：假设此人登上n台阶的方式有种。若第一步登了一阶，则登上n阶台阶的方式有种；若第一步登了二阶，则登上n阶台阶的方式有种，于是此时容易得到于是这是一个删除了首项的斐波那契数列，所以 1.3斐波那契数列通项公式的若干推导方法推导方法 1 先求满足递推关系 的等比数列，其中。于是（1）变形为 整理为用求根公式可解得可见，满足条件（1）的等比数列有两个公比和如果等比数列满足条件则公比为1，即不等于，因此
10、不可能满足条件（1）。但是，如果将满足条件（1）的两个等比数列与 逐项相加得到数列= （2）则数列（2）仍满足条件（1），如果能适当选择a，b使即 （3）则就符合斐波那契数列所满足的所有条件。容易看出，满足条件的斐波那契数列是唯一的。因此满足条件（3）的a，b决定的数列（2）就是所求的斐波那契数列。 由于,所以可以将条件（3）看成以a，b为未知数的二元一次方程组，解之得a=，b=从而.又由于，因此.所以这里得到了斐波那契数列的通项公式推导方法1的关键是：满足条件（1）的两个等比数列仍满足条件（1）（一般不再是等比数列），适当选择的前两项都等于1。推导方法 2 初等代数法已知 首先，构建等比数列
11、设化简得与式（1）比较系数可得：不妨设解得所以有，即为等比数列。求出等比数列由以上可得： 变形得：。令求数列进而得到设，解得。故数列为等比数列即 。而，故有又有和可得得出表达式至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。推导方法 3 大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每一项是前面两项的和，即数列要满足式（1）的条件，而式（1）属于线性递归数列，此数列有其一般的表达式为：式（4）变形为：由于 因此：1.4斐波那契数列性质及其简单证明性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 其中，n都从0开始取。性质1的证明：（用数学归纳法）（1） 当n=1时，左边=1，右边=,所以左边=右边
12、。即n=1时，等式成立。（2） 假设n=k时，等式成立。即有 则当n=k+1时， = = = = 即n=k+1，等式也成立 综合（1）（2），对于所有正整数，均成立。 证必。其他的性质，都可以利用数学归纳法，类似证明，此处不再赘述。除此之外，标准的斐波那契数列还有如下的一些著名性质，他们大多数都难以证明。（1） 与之差为1；随着数列继续下去，此差交替地为正或负。（2） 两个相邻数的平方和。（3） 对于任何四个相邻的数：下列公式成立：。（4） 斐波那契数列中每个数的最右一位数字锁构成的数列，每60个循环一次。最右两位数字，每300个循环一次。最右三位数字，每1500个循环一次。最右五位数字，每1
13、50 000个循环一次。并且，对于所有更多的位数，也有相应的循环。（5） 每第三个数能用2整除，每第四个数能用3整除，每第五个数能用5整除，每第六个数能用8整除，等等。这些除数又构成斐波那契数列。相邻的斐波那契数列除1外无公因数。（6） 除了3以外，没一个素数的数有素数为其脚码（例如，233是素数，它的脚码13也是素数）。另一方面，如果一个数的脚码是合数，则该数也是合数。遗憾的是，反过来不全真：有素数为其脚码，未必意味着该数是素数。第一个反例是，脚码是素数，但4181=37113非素数。1.5人体中与斐波那契数列有关的知识人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，这从另一个方面说明了斐波那契数列的奇妙经过长期的数据统计，人们发现了一个很有趣的现象。人体各个地方的比例好多都符合黄金分割比或其倒
