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1、曲靖师范学院曲靖师范学院 本科生毕业论文本科生毕业论文 论文题目 论文题目 高中数学求函数最值常用的方法高中数学求函数最值常用的方法 作者 学号 2008111244 学院 年级 数学与信息科学学院 2008 级 学科 专业 数学 数学与应用数学 指 导 教 师 完 成 日 期 2012 年 5 月 20 日 曲靖师范学院教务处曲靖师范学院教务处 高中数学求函数最值常用的方法 摘要摘要 最值问题是历年高考重点考查的知识点之一 也是近几年数学竞赛中的常见题型 在高考中 其题型经常与三角函数 二次函数 一元二次方程 不等式及某些几何知 识紧密联系 本文按八个方面分类探讨求函数最值问题的方法 它们分
2、别是 判别式 法 函数的单调性法 均值不等式法 换元法 几何法 构造方差法 复数法和导数 法 关键词关键词 函数 驻点 最大值 最小值 High School Mathematics Method to Extreme Value of Function Abstract On the least value is over one of the key test for college entrance examination of knowledge also common types of mathematics competitions in recent years In the c
3、ollege entrance examination questions frequently and trigonometric functions quadratic functions quadratic equations inequalities and some knowledge of geometry close contact This article by eight classification on the seek function on the least value methods namely discrimination law the monotonici
4、ty of the function method by substitution geometric mean inequality constructed by variance complex laws and by derivative method Keywords Function Resident Maximum value Minimum value 目 录 1 引言 1 2 文献综述 1 2 1 国内外研究现状 1 2 2 国内外研究现状评价 1 2 3 提出问题 1 3 知识准备 1 3 1 值域 2 3 2 最值 2 4 高中求函数最值常用的方法 3 4 1 判别式法 3
5、 4 2 函数的单调性法 4 4 3 均值不等式法 5 4 4 换元法 6 4 5 几何法 7 4 6 构造方差法 9 4 7 复数法 10 4 8 导数法 11 5 结论 11 5 1 主要发现 12 5 2 启示 12 5 3 局限性 12 5 4 努力方向 12 参考文献 13 0 1 引言 高中函数最值是高中知识的重要部分 也是最值问题是历年高考重点考查 的知识点之一 也是近几年数学竞赛中的常见题型 因此掌握求函数最值的初 等求解方法是很有必要的 2 文献综述 2 1 国内外研究现状 在高考中 最值问题经常与三角函数 二次函数 一元二次方程 不等式 及某些几何知识紧密联系 并以一些基础
6、题 小综合的中档题或一些难题的形 式出现 由于其解法灵活 综合性强 能力要求高 故而解决这类问题 要掌 握各数学分支知识 能综合运用各种数学技能 灵活选择合理的解题方法 高 中求函数最值问题最常的方法 它们分别是 判别式法 函数的单调性法 均 值不等式法 换元法 几何法 构造方差法 复数法和导数法 2 2 国内外研究现状评价 最值问题 几乎涉及到高中数学的各个分支 是历年高考重点考查的知识 点之一 有一些基础题 也有一些小综合的中档题 更有一些以难题形式出现 解决这类问题 要掌握各数学分支知识 能综合运用各种数学技能 灵活选择 合理的解题方法 考生的运算能力 分析问题和解决问题能力在这里充分展
7、现 因此我们应注意总结最大 最小值问题的解题方法与技巧 以提高高考应变能 力因函数的最大 最小值求出来了 值域也就知道了反之 若求出的函数的值 域为非开区间 函数的最大或最小值也等于求出来了 2 3 提出问题 本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法 它们分别是 判别 式法 函数的单调性法 均值不等式法 换元法 几何法 构造方差法 复数 法和导数法 3 知识准备 3 1 值域 函数 我们把函数值的集合称为函数的值域 Axxfy Axxf 1 3 2 最值 求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同 事实上 如果在函数的 值域中存在一个最小 大 数 这个数就是函数的最小 大 值 因此 求函
8、数的 最值和值域 其实质是相同的 只是提问不同而已 最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为I I 如果存在实数 M 满足 对于任意的x I I 都有f x M 存在x0 I I 使得f x0 M 那么 称 M 是函数y f x 的最大值 记作 max0 yf x 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为I I 如果存在实数 M 满足 对于任意的x I I 都有f x M 存在x0 I I 使得f x0 M 那么 称 M 是函数y f x 的最小值 记作 min0 yf x 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在x0 I I 使得f x0 M 函数最大 小 应该是所有函数值
9、中最大 小 的 即对于任意的 x I I 都有f x M f x M 1 确定函数值域的原则 1 当函数用表格给出时 函数的值域指表格中实数 y 的集合 xfy x0123 y f x 1234 则值域为 1 2 3 4 2 数的图像给出时 函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖 xfy 的实数 y 的集合 3 数用解析式给出时 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯 xfy 一确定 4 由实际问题给出时 函数的值域由问题的实际意义决定 2 基本函数的值域 2 1 一次函数的定义域为 R 值域为 R 0 abkxy 2 二次函数的定义域为 R 0 2 acbxaxy 3 反比例函数的定义域
10、为 x x0 值域为 0 k x k y 0 yy 4 数函数的值域为 10 aaay x 且 0 yy 5 对数函数的值域为 R 10 log aaxy a 且 6 函数 y sinx y cosx 的值域是 1 1 7 函数 的值域为 R 2 kx tan xycot x y Zkkx 4 高中求函数最值常用的方法 4 1 判别式法 若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程 yf x yx 在时 由于为实数 则有 2 a y xb y x 0c y 0a y x y 由此可以求出所在的范围 确定函数的最值 2 4 0bya y c y y 例 1 已知 其中是实数 则的最大值为 33 2p
11、q p qpq 解 设 由得 spq 33 2pq 22 2pqpqpq 2 3 2pqpqpq 3 3 2pqpq pq 是方程的两个实根 2 12 3 pqs s p q 22 12 0 3 xsxs s 22 42 0 3 ss s 整理化简 得 故 即的最大值为 2 3 8s 2s pq 例 2 实数满足 设 则的值为 x y 22 4545xxyy 22 sxy maxmin 11 ss 解 由题意知 故 4 1 5 xys 22 4 1 5 xys 3 又 是方程的两个实根 22 xys 22 xy 22 4 1 0 5 tsts 222 43932 4 1 40 5255 sss
12、s 解得 即 1010 133 s minmax 1010 13 3 ss maxmin 118 5ss 4 2 函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时 常用单调性法来求函数的最值 若函数 在整个区间上是单调的 则该函数在区间端点上取到最大值或最小值 若函数在 整个区间上不是单调的 则把该区间分成各个小区间 使得函数在每一个区间 上是单调的 再求出各个小区间上的最值 从而可以得到整个区间上的最值 例 3 求函数的最小值和最大值 22 81448f xxxxx 解 先求定义域 由 得 2 2 80 14480 xx xx 68x 又 86f xxxx 6 8 6 x xx 6 8x 故当
13、且增加时 增大 而减小 于是是随着 6 8x x6xx 8x f x 的增大而减小 即在区间上是减函数 所以x f x 6 8 min 8 0fxf max 6 2 3fxf 例 4 求函数 的最大值和最小值 2 1 25 x y xx 3 2 2 x 解 1x 2 11 4 14 1 1 x y x x x 3 2 2 x 令 当时 有 4 f tt t 1 1 2 t 12 1 1 2 tt 2121 21 44 f tf ttt tt 21 1 2 4 1 tt t t 0 4 在上是减函数 因此 4 f tt t 1 1 2 min 1 5ftf max 117 22 ftf min
14、2 17 y max 1 5 y 4 3 均值不等式法 均值不等式 设是个正数 则有 其中 12 n a aan 12 12 2 n n n aaa a aa 等号成立的条件是 12 n aaa 运用均值不等式求最值 必须具备三个必要条件 即一正二定三等 缺一不可 正 是指各项均为正数 这是前提条件 定 是指各项的和或积为定值 等 是等号成立的条件 例 5 设为自然数 为实数 且满足 则的最小n a b2ab 11 11 nn ab 值是 解 由均值不等式得 a b 0 2 1 2 ab ab 1 nn a b 故 111111 1 11 1 1 1 nnnn nnnnnnnn baba ab
15、abba ba 当且仅当时 上式取等号 故的最小值是1ab 11 11 nn ab 1 例 6 设 1 lglg 1 azx yz 1 lglg 1 bxxyz lgcy 记中最大数为 M 则 M 的最小值为 1 lg 1 xyz a b c 解 由已知条件得 111 lg lg lg axyz byzxcxzy 设中的最小数为 则 M 111 xyz yzxxzy Alg A 由已知条件知 于是 x y zR 211 Axyzxzy 11 yzyzxx 224 所以 且当时 故的最小值为 从而 M 的最小值为2A 1xyz 2A A2 lg2 注 在用均值不等式求函数的最值时 往往需要配合一
16、定的变形技巧 才可以 5 把问题转化成求不等式的问题 例 7 设 则的最大值是 0 sin 1cos 22 解 由 有0 sin0 2 又 2 sin 1cos 2sincos 2222 222 2 2sincoscos 222 222 3 2sincoscos 222 2 3 4 3 9 其中当时 上式等号成立 即时成立 故 22 2sincos 22 2cot2arc 的最大值为sin 1 cos 2 4 3 9 4 4 换元法 用换元法求函数最值 就是根据函数表达式的特点 把某一部分看作一个整 体或用一个新变元来代替 达到化繁难为简易 化陌生为熟悉 从而使原问题得解 换元法通常有三角代换和代数代换两种 例 8 正数满足 其中为不相等的正常数 求的最小值 x y1 ab xy a bxy 解 令 0 aubv u v xuv yuv 则 a uvb uv xy uv avbu ab uv 2abab 2 ab 当且仅当 即时上式取等号 故 avbu uv avbu 2 min xyab 例 9 实数适合条件 则函数的值域是 x y 22 12xy 22 232xxyy 解 由已知可
