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1、专题05解析几何一、直线与圆(一)直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用(二)圆的方程1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a,b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：(,)半径r2确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准
2、方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程3与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题二、椭圆(一)椭圆的概念平面内与两个定点F1,F2的距
3、离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数：(1)若ac,则集合P为椭圆；(2)若ac,则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a,b,c的关系a2b2c2(三) 知识拓
4、展(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0,n0,mn)的形式(3)当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(4)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的
5、一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系(5)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2b2c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围三、双曲线(一) 双曲线的概念平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|
6、MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在（二）双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)(三) 知识拓展(1)利用双曲线的定
7、义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为(0),再由条件求出的值即可(4) 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线1(a0,b0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(5)研究直
8、线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时,用判别式来判定(6)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验四、抛物线(一)抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线（二）抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点
9、FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下(三) 知识拓展1抛物线y22px (p0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|x0,也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦点坐标为,准线方程为x.3设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1x2,y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦4. 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在
10、运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径五、曲线与方差(一)曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的对应关系：那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线（二）求动点的轨迹方程的基本步骤(三) 知识拓展1.应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解2.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性3.由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,根据x2,y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论4. 区分求轨迹方程与求轨迹问题6
