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1、第一讲 线性空间一、 线性空间的定义及性质知识预备集合:笼统的说是指一些事物(或者对象)组成 的整体集合的表示:枚举、表达式集合的运算:并(),交()另外,集合的“和”():并不是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须有可加性。数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。1 线性空间的定义:设是一个非空集合,其元素用等表示;是一个数域,其元素用等表示。如果满足如下8条性质,分两类(I)在中定义
2、一个“加法”运算,即当时,有唯一的和(封闭性),且加法运算满足下列性质(1)结合律 ; (2)交换律 ;(3)零元律 存在零元素o,使o;(4)负元律 对于任一元素,存在一元素,使o,且称为的负元素,记为()。则有 o。(II)在中定义一个“数乘”运算,即当,时,有唯一的(封闭性),且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律 ; (6)分配律 ; (7)结合律 ; (8)恒等律 ; 数域中一定有1则称为数域上的线性空间。注意:1)线性空间不能离开某一数域来定义,因为同一个集合,如果数域不同,该集合构成的线性空间也不同。(2)两种运算、八条性质数域中的运算是具体的四则运算,而中所定义的加法运算和数
3、乘运算则可以十分抽象。(3)除了两种运算和八条性质外,还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然,封闭性还需要证明,出现不封闭的情况:集合小、运算本身就不满足。当数域为实数域时,就称为实线性空间;为复数域,就称为复线性空间。例1 设全体正实数,其“加法”及“数乘”运算定义为 xy=xy , 证明:是实数域R上的线性空间。证明 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 唯一性和封闭性唯一性显然 若x0,y0, ,则有 xy=xy 封闭性得证。八条性质(1)x(yz)=x(yz)=(xy)z=(xy)z(2) xy=xyyx= yx(3) 1是零元素 x1 xo=xxo=xo=1(4) 是x的负元素 x
4、 x+y=o (5) (xy)xy 数因子分配律(6) (x)(x) 分配律(7) 结合律(8) 恒等律由此可证,是实数域R上的线性空间。2 定理:线性空间具有如下性质(1) 零元素是唯一的,任一元素的负元素也是唯一的。(2) 如下恒等式成立: o, 。 证明(1)采用反证法: 零元素是唯一的。 设存在两个零元素o1和o2,则由于o1和o2 均为零元素, 按零元律有 交换律 o1o2o1 o2o1o2所以 o1o2 即 o1和o2 相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素。 任一元素的负元素也是唯一的。假设,存在两个负元素和,则根据负元律有 o 零元律 结合律 零元律 即和相同,故负元素唯一。 (
5、2) :设w=0x,则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故 w=o。 恒等律 :设w=(1)x,则x+w=1x+(1)x=1+(1)x=0x=o,故w=x。3 线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。线性组合: 称为元素组的一个线性组合。线性表示:中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合,则称x可由该元素组线性表示。线性相关性:如果存在一组不全为零的数,使得对于元素有 则称元素组线性相关,否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念,有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。4 线性空间的维数定义:线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称
6、为的维数,记为。本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及 。例2. 全体mn阶实矩阵的集合构成一个实线性空间(对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算),求其维数。解 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简单。令Eij为这样的一个mn阶矩阵,其(i, j)元素为1,其余元素为零。显然,这样的矩阵共有mn个,构成一个具有mn个元素的线性无关元素组。另一方面,还需说明元素个数最大。对于任意的,都可由以上元素组线性表示, 即构成了最大线性无关元素组,所以该空间的维数为mn。二、 线性空间的基与坐标1 基的定义:设V是数域K上的线性空间,是属于V的r个任意元素,如果它满足(1)线性无关;(
7、2)V中任一向量x均可由线性表示。则称为V的一个基,并称为该基的基元素。基正是V中最大线性无关元素组;V的维数正是基中所含元素的个数。基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等。例3 考虑全体复数所形成的集合C。如果KC(复数域),则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间,其基可取为1,空间维数为1;如果取KR(实数域),则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间,其基可取为1,i,空间维数为2。数域K两种运算基一般元素空间类型维数复数域C(1)复数加法;(2)复数对复数的数乘1复线性空间1实数域R(1)复数加法;(2)实数对复数的数乘1,i实线性空间22 坐标的定义:称线性空间的一
8、个基为的一个坐标系,它在该基下的线性表示为: 则称为x在该坐标系中的坐标或分量,记为 讨论:(1)一般来说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来,坐标表示把这种差别留给了基和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。(2)更进一步,原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。 正对应 正对应 (3)显然,同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。三、 基变换与坐标变换基是不唯一的,因此,需要研究基改变时坐标变换的规律。设是的旧基,是的新基,由于两者都是基,所
9、以可以相互线性表示 ()即 其中C称为过渡矩阵,上式就给出了基变换关系,可以证明,C是可逆的。设,它在旧基下的线性表示为 它在新基下的线性表示为 则 由于基元素的线性无关性,得到坐标变换关系 补充:证明对于线性空间的零元素o,均有koo。线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1. 定义:设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合,且对V已有的线性运算满足以下条件(1) 如果x、yV1,则xyV1;(2) 如果xV1,kK,则kxV1,则称V1是V的一个线性子空间或子空间。 2. 性质:(1)线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素; (2)V1中元素的负元素仍在V1中。证明(1)0V中的零
10、元素也在V1中,V1与V享有共同的零元素。(2)(1)x=(x) 封闭性 V1中元素的负元素仍在V1中3. 分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间:0和V本身非平凡子空间:除以上两类子空间4. 生成子空间:设x1、x2、xm为V中的元素,它们的所有线性组合的集合 也是V的线性子空间,称为由x1、x2、xm生(张)成的子空间,记为L(x1、x2、xm)或者Span(x1、x2、xm)。若x1、x2、xm线性无关,则dimL(x1、x2、xm)=m5. 基扩定理:设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间,x1、x2、xm是V1的一个基,则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基;换言
11、之,在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、xn,使得x1、x2、xn成为Vn的一个基。这n-m个元素必不在V1中。二、子空间的交与和1.定义:设V1、V2是线性空间V的两个子空间,则 分别称为V1和V2的交与和。2.定理:若V1和V2是线性空间V的两个子空间,则,V1V2均为V的子空间证明(1) 是V的一个线性子空间。(2) 是V的子空间。4. 维数公式:若V1、V2是线性空间V的子空间,则有dim(V1+V2)+ dim()= dimV1+ dimV2证明 设dimV1=n1, dimV2=n2, dim()=m需要证明dim(V1+V2)n1n2m设x1、x2、xm是的一个基,根
12、据基扩定理 存在1)y1、y2、yn1mV1,使x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成为V1的一个基; 2)z1、z2、zn2mV2,使x1、x2、xm、z1、z2、zn2m成为V2的一个基; 考察x1、x2、xm、y1、y2、yn1m、z1、z2、zn2m,若能证明它为V1+V2的一个基,则有dim(V1+V2)n1n2m。 成为基的两个条件:1) 它可以线性表示V1+V2中的任意元素2) 线性无关显然条件1)是满足的,现在证明条件2),采用反证法。假定上述元素组线性相关,则存在一组不全为0的数k1、k2、km、p1、p2、pn1m、q1、q2、qn2m使令,则 但根据基扩定理 , x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成为V1的一个基 同理: 这与假设矛盾,所以上述元素线性无关,可作为V1+V2的一个基。dim(V1+V2)n1n2m三、子空间的直和1. 定义:设V1、V2是线性空间V的子空间,若其和空间V1+V2中的任一元素只能唯一的表示为V1的一个元素与V2的一个元素之和,即,存在唯一的、,使,则称为V1与V2的直和,记为子空间的直和并不是一种特殊的和,仍然是,反映