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1、初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题1新人教版第6章 函数6.1函数及其图像6.1.1 已知，求解析1 令，则，带入原式有，所以 解析2 ，所以6.1.2 若函数，求解析 只要将满足的值求出来，然后代入即可，所以，因此6.1.3 已知函数，其中、为常数若，求解析 由题设所以6.1.4 函数的定义域是全体实数，并且对任意实数、，有若，求解析 设，令代入已知条件得，即对任意实数，恒有，所以，所以 6.1.5 若对任意实数，总有意义，求实数的取值范围解析 欲使总有意义，令则或，对任意实数均成立，于是问题等价于（1）（2）（3）由（1）解得：，或；由（2）解得：不存在；由（3）解得：于是实数的
2、取值范围为，或6.1.6 若的定义域为一切实数，求的取值范围解析 由题意的定义域为一切实数，即对任意实数，恒有若，则，与题意不符；当时，二次函数的充要条件是得因此，的取值范围是6.1.7 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图像只能是（ ）解析 通过分析函数图像的特征，例如的图像过一定点（，0），或者通过函数图像讨论常数的正负逐步淘汰三个选择项，得出结论函数的图像过顶点，而在（A）中直线不过点，故淘汰（A）中直线不过点，故淘汰（A）在（D）中，直线左高右低，因此；双曲线在，象限，则，导致矛盾故淘汰（D）在（C）中，仿前，从直线看，；从双曲线看，也导致矛盾故淘汰（C）故选（B）6.1.8 函数的
3、图像与轴交点的横坐标之和等于_解析 原问题可转化为求方程的所有实根之和若实数为方程的根，则其相反数也为方程的根所以，方程的所有实根之和为0，即函数的图像与轴交点的横坐标之和等于06.1.9 直线过点、，直线过点，且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图设此三角形的面积为，求关于的函数解析式，并画出图像.解析 因为过点，所以，即设与轴交于点，则点的坐标为，且（这是因为点在线段上，且不能与点重合），即，故的函数解析式为6.1.10 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12从它的顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于设梯形的面积为，梯形中较短
4、的底的长为，试写出梯形面积关于的函数关系式解析 设矩形的长大于宽的2倍由于周长为12，故长与宽满足，由题意，有如下两种情形：（1）如图，这时，所以，=，其中（这由得出）（2）当时，由于，故，这时，由，得，所以=，其中（这由得出）6.1.11 已知二次函数，且方程与有相同的非零实根（1）求的值；（2）若，解方程解析 （1）设的两根为、，且，则，于是，的两根为、，且所以，即因此，（2）由（1）得又，则，解之得或，于是，的两组解为或6.1.12 如果函数对任意实数，都有，求，之间的大小关系解析 对任意实数成立，因此的图像的对称轴是的图像是开口向上的抛物线，因此当时，随着的增大而增大于是有但由对称性知
5、，故6.1.13 如图所示，、分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间的函数图像假设两种灯的使用寿命都是，照明效果一样（1）根据图像分别求出、的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明，他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？解析 （1）设直线的解析式为由图像得，解得所以，的解析式为设直线的解析式为由图像得，解得所以，的解析式为（2）当时，两种灯的费用相等，这时有，解得，所以，当照明时间为时，两种灯的费用相等（3）当时，所以他买节能灯省钱6.1.14 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的
6、变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣渐增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分赛学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图像如图所示（越大表示学生注意力越集中）当时，图像是抛物线的一部分，当和时，图像是线段（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟问老师能否讲过适当安排。使学生在 听这道题时，注意力的指标数都不低于36解析 （1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图像经过点、，所以解得，所以，（2）当时，所以，当时，令，得，解得，（舍去）；当时，令，得，解得因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道
7、竞赛题6.2 一次函数6.2.1 四一次函数，（1）若，求函数的表达式；（2）若，且，求函数的表达式解析（1）设因为，又因为所以解得所以或（2）设因为，所以因为，所以由得，代入得得，则所以6.2.2 求证：一次函数的图像对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点解析 由一次函数得，因为等式对一切有意义的成立，所以得解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点6.2.3 已知、为常数。，并且，求解析 用代换原方程的，得用代换原方程中的，得得因为，所以所以6.2.4 某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米。则此人。离起点的距离与时间的人关系示意图是
8、（ ）解析 因为图（A）没有反映休息所消耗的时间；图（D）没有反映沿原路返回的一段路程；图（B）尽管表明了折返后的变化，但没有表示消耗的时间上述三图均有误，故选（C）6.2.5 已知一次函数的随的值增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过反比例函数的图像在二、四、象限求满足上述条件的的整数值解析 由一次函数的随的值增大而增大，可知，解得又它的图像与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积是，得而反比例函数的图像在第二、四象限，则，即综合、得所以满足题意的的整数值为1、26.2.6 已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到大于5的值，又能取
9、到小于3的值，求实数的取值范围解析 显然当时，函数的图像是一条左低右高的线段，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等价条件是对应的函数值大于5，对应的函数值小于3当时，已知函数的图像是一条左高右低的线段，可类似讨论的图像是一条线段，故既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等价条件是或或即的取值范围为6.2.7 如图，设，其中，记在的最小值为，求及其最大值，并作的图像解析 因为当时，为递增函数或常数函数，在上最小值；当时，为递增函数在上的最小值为所以因此在上为递增函数；在上为递增函数，故的最大值为6.2.8 设有两直线，相交于点，它们与轴的交点为、求中边上的中线的方程解析 如图所示，在，中
10、分别令，即可得交点、的坐标分别为、解方程组得交点的坐标（3，4）再设中线为，则由中点坐标公式求得由于、两点的横坐标相同，均为3，故中线的直线方程为评注 平行于轴（或垂直于轴）的直线方程为；平行于轴（或垂直于）的直线方程为6.2.9 已知函数（1）求证：无论取何实数时，这些函数图像恒过某一定点；（2）当在范围内变化时，在内变化，求实数的值解析 （1）设将它变为令解方程，得即这些直线恒过定点（2）当时，不合题意；当时，一次函数随着的增大而增大，因此，解方程组，得当时，一次函数随着的增大而减小，因此，方程组无解故实数的值为评注 由（1）知，无论取何实数时，函数的图像恒过定点，这些直线称为直线系6.2
11、.10 一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为、，并且过点，则在线段上（包括端点、），横、纵坐标都是整数的点有（ ）（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个解析 设，由，得，所以，所以、由，取，7，11，15，19时，是整数因此，在线段上（包括端点、），横、纵坐标都是整数的点有5个故选（B）6.2.11 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为（15，6）直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，求的值解析 设矩形的对角线的交点为，则是它的对称中心，点坐标为（7.5，3）过矩形对称中心的直线，总是将矩形分成面积相等的两部分将点的坐标代入，得（或0.5）6.2.12 设有直线过点，且在第一
12、象限与两坐标轴围城的三角形的面积为最小（如图）求此直线的方程解析 设直线的方程为，它与两坐标轴的交点分别为、，它与两坐标轴围成的三角形的面积为，则有，这里，由于，且不等式等号当且仅当，即（由于）时成立，得最小面积为2，此时，所以，直线的方程为评注 由于，所以，这里，此不等式是一个应用很广的不等式，且当且仅当时等号成立6.2.13 在直角坐标系中，轴上的动点到定点，的距离分别为何，那么当取最小值时，求点的横坐标解析 作点关于轴的对称点，设直线的解析式为，于是有解出，故直线的解析式为令，解出即为所求下面证明使取最小值在轴上任取一点，连结、，因为点关于轴的对称点为，易知轴为的垂直平分线于是，由三角形
13、不等式可知又，所以，即使取最小值6.3 二次函数6.3.1 （1）设抛物线，把它向右平移个单位，或向下平移个单位，都能使得抛物线与直线恰好有一个交点，求、的值；（2）把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）与（4，9），求、的值；（3）把抛物线向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图像是经过点的抛物线，求原二次函数的解析式解析 （1）抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线为于是方程有两个相同的根，即方程的判别式所以这时的交点为抛物线向下平移个单位，得到抛物线于是方程有两个相同的根，即，所以这时的交点为（2）把向左平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线为 于是，由题设得解得，即抛物线向右平移了两个另个单位，向上平移了一个单位（3）首先，抛物线经过点，可求得设原来的二次函数为，由题设知解得，原二次函数为评注 将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是；向左平移个单位，得到的抛物线是；向上平移个单位，得到；向下平移个单位，得到6.3.2 已知抛物线的一段图像如图所示（1）确定、的符号；（2）求的取值范围解析 （1）由于抛物线开口向上，所以又抛物线经过点，所以因为抛
