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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（4） 文科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题，则是成立的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C既不充分有不必要D充要【答案】B【解析】，因为，所以是成立的必要不充分条件，选B2已知复数，是虚数单位，若是实数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】复数，若是实数，则，解得故选A3下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）ABCD【答案】B【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在上单调递增，故满
2、足条件；C是偶函数，在上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在上不单调故答案为B4已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：12340.13.14则（ ）A0.8B1.8C0.6D1.6【答案】B【解析】由题意，代入线性回归方程为，可得，故选B5若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A0B2C5D6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值，本题选C6已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由成等比数列得，选C7我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日
3、一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）ABCD【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60故选C8如图，网格纸上小
4、正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A9若函数的图象经过点，则（ ）A在上单调递减B在上单调递减C在上单调递增D在上单调递增【答案】D【解析】由题意得，函数的图象经过点，又，对于选项A，C，当时，故函数不单调，A，C不正确；对于选项B，D，当时，函数单调递增，故D正确选D10已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，因为，所以，由基本不等
5、式有，故，所以，选B11已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为本题选择A选项12已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，以，为直径的圆的方程为，将直线代入圆的方程，可得：（负的舍
6、去），即有，又，则直线的斜率，又，则，即有，则离心率，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_【答案】【解析】，即，14阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_【答案】【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当，时，运算程序依次继续：，；，；，；，；，运算程序结束，输出，应填答案15在中，是的外心，若，则_【答案】【解析】由题意可得：，则：，如图所示，作，则，综上有：，求解方程组可得：，故16已知函数满足，且当时若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为_【答案】【解析】，当时，；，故函数，作函数与的图象如下，
7、过点时，；故，故，故实数的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分，每个试题12分17已知在中，且（1）求角，的大小；（2）设数列满足，前项和为，若，求的值【答案】（1），；（2）或【解析】（1）由已知，又，所以又由，所以，所以，所以为直角三角形，（2）所以，由，得，所以，所以，所以或18某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求的值及这50名同学数学成绩的平均数；（2）该学校为制定下阶段
8、的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题，解得，（2）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人），由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y，则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy共20种，其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD；设：至少有一名女生参加座谈为事件A，则19如
9、图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，为的中点（1）在侧棱上找一点，使平面，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）为的中点取的中点为，连，为正方形，为的中点，平行且等于，又，平面平面，平面（2）为的中点，为正四棱锥，在平面的射影为的中点，20已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点（1）求与的标准方程；（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积【答案】（1），；（2）【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，解得，故椭圆的标准方程为又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，故抛物线
10、的标准方程为（2）显然，直线的斜率存在设直线的方程为，设，则，即，联立，消去整理得，依题意，是方程的两根，将和代入得，解得，（不合题意，应舍去）联立，消去整理得，令，解得经检验，符合要求此时，21设函数（1）求证：；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）原不等式等价于，设，所以，当时，单调递减；当时，单调递增又因为，所以所以（2）当时，恒成立，即恒成立当时，；当时，而，所以（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分）22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点
11、为，当变化时点的轨迹为曲线（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值【答案】（1）的普通方程为；（2）的最小值为【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；，消可得：，因为，所以，所以的普通方程为（2）直线的直角坐标方程为：由（1）知曲线与直线无公共点，由于的参数方程为（为参数，），所以曲线上的点到直线的距离为：，所以当时，的最小值为23已知函数（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】（1）当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以当时，原不等式可化为，解得，所以，综上所述，当时，不等式的解集为或（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以，解得，故所求实数的取值范围是
