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1、【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4反证法同步检测 北师大版选修1-2一、选择题1(2014微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果ab0，那么a2b2”时，假设的内容应是()Aa2b2Ba2b2Ca2b2 Da2b2，且a2b2答案C2设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A0BCD1答案B解析三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则abcb”是“amnbmnanbmambn”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析amnbmnanbmambnan(
2、ambm)bn(bmam)(ambm)(anbn)0或，不难看出ab/ amnbmnambnanbm，amnbmnambnbman/ ab.6若ab0，则下列不等式中总成立的是()Aab BCab D答案A解析可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确二、填空题7“x0且y0”的否定形式为_答案x0或y0解析“p且q”的否定形式为“p或q”8和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_答案异面解析假设AC与BD共面于平面 ，则A、C、B、D都在平面内，AB，CD，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面9在空间中有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必
3、共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中真命题是_答案解析四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故假；空间四边形ABCD中，可以有ABCD，ADBC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故假三、解答题10实数a、b、c、d满足abcd1，acbd1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数解析假设a、b、c、d都是非负数则1
4、(ab)(cd)acadbcbd(acbd)(adbc)acbd，即acbd1.这与已知acbd1矛盾，所以假设不成立故a、b、c、d中至少有一个是负数点评该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有acbd1这一条件，要想构造出acbd，需用(ab)乘以(cd)一、选择题11(2013山东青岛二中高二期中)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60”，反证假设正确的是()A假设三内角都大于60B假设三内角都不大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B12设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零
5、的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，即abc，bca，两式相加得b0，Q0，R0.13若x、y0且xy2，则和的值满足()A.和中至少有一个小于2B.和都小于2C.和都大于2D不确定答案A解析假设2和2同时成立因为x0，y0，1x2y且1y2x，两式相加得1x1y2(xy)，即xy2，这与xy2相矛盾，因此和中至少有一个小于2.二、填空题14用反证法证明命题：“一个三角形
6、中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知，先反设即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.15用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_答案假设a1或b1解析结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”16有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获
7、奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是_答案丙解析若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙三、解答题17已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：，不能构成等差数列解析假设，能构成等差数列，则，于是得bcab2ac.而由于a、b、c构成等差数列，即2bac.所以由两式得，(ac)24ac，即(ac)20，于是得abc，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾故假设不成立，因此，不能构成等差数列18用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数解析解法一：假设为有理数，令t，则t，两边平方，得bt22ta，.a、b、t均为有理数，也是有理数即为有理数，这与已知为无理数矛盾故假设不成立一定是无理数解法二：假设为有理数，则()()ab.由a0，b0，得0.a、b为有理数，即ab为有理数为有理数，为有理数()()为有理数，即2为有理数从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，一定为无理数
