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1、【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4反证法同步检测 北师大版选修1-2一、选择题1(2014微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果ab0,那么a2b2”时,假设的内容应是()Aa2b2Ba2b2Ca2b2 Da2b2,且a2b2答案C2设实数a、b、c满足abc1,则a、b、c中至少有一个数不小于()A0BCD1答案B解析三个数a、b、c的和为1,其平均数为,故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于,则abcb”是“amnbmnanbmambn”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析amnbmnanbmambnan(
2、ambm)bn(bmam)(ambm)(anbn)0或,不难看出ab/ amnbmnambnanbm,amnbmnambnbman/ ab.6若ab0,则下列不等式中总成立的是()Aab BCab D答案A解析可通过举反例说明B、C、D均是错误的,或直接论证A选项正确二、填空题7“x0且y0”的否定形式为_答案x0或y0解析“p且q”的否定形式为“p或q”8和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_答案异面解析假设AC与BD共面于平面 ,则A、C、B、D都在平面内,AB,CD,这与AB、CD异面相矛盾,故AC与BD异面9在空间中有下列命题:空间四点中有三点共线,则这四点必
3、共面;空间四点,其中任何三点不共线,则这四点不共面;垂直于同一直线的两直线平行;两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中真命题是_答案解析四点中若有三点共线,则这条直线与另外一点必在同一平面内,故真;四点中任何三点不共线,这四点也可以共面,如正方形的四个顶点,故假;正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中,一条与另两条都垂直,故假;空间四边形ABCD中,可以有ABCD,ADBC,例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形,这时它的两组对边仍保持相等,故假三、解答题10实数a、b、c、d满足abcd1,acbd1.求证:a、b、c、d中至少有一个是负数解析假设a、b、c、d都是非负数则1
4、(ab)(cd)acadbcbd(acbd)(adbc)acbd,即acbd1.这与已知acbd1矛盾,所以假设不成立故a、b、c、d中至少有一个是负数点评该命题中含有“至少”字样,故想到用反证法来证明,又因为已知中有acbd1这一条件,要想构造出acbd,需用(ab)乘以(cd)一、选择题11(2013山东青岛二中高二期中)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60”,反证假设正确的是()A假设三内角都大于60B假设三内角都不大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B12设a、b、cR,Pabc,Qbca,Rcab,则“PQR0”是P、Q、R同时大于零
5、的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析若P0,Q0,R0,则必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因为当PQR0时,若P、Q、R不同时大于零,则P、Q、R中必有两个负数,一个正数,不妨设P0,Q0,即abc,bca,两式相加得b0,Q0,R0.13若x、y0且xy2,则和的值满足()A.和中至少有一个小于2B.和都小于2C.和都大于2D不确定答案A解析假设2和2同时成立因为x0,y0,1x2y且1y2x,两式相加得1x1y2(xy),即xy2,这与xy2相矛盾,因此和中至少有一个小于2.二、填空题14用反证法证明命题:“一个三角形
6、中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:ABC9090C180,这与三角形内角和为180相矛盾,则AB90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A、B、C中有两个角是直角,不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知,先反设即,再推出矛盾即,最后作出判断,肯定结论即,即顺序应为.15用反证法证明命题:“若a、b是实数,且|a1|b1|0,则ab1”时,应作的假设是_答案假设a1或b1解析结论“ab1”的含义是a1且b1,故其否定应为“a1或b1”16有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”乙说:“甲、丙都未获
7、奖”丙说:“我获奖了”丁说:“是乙获奖”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是_答案丙解析若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙三、解答题17已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列,求证:,不能构成等差数列解析假设,能构成等差数列,则,于是得bcab2ac.而由于a、b、c构成等差数列,即2bac.所以由两式得,(ac)24ac,即(ac)20,于是得abc,这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾故假设不成立,因此,不能构成等差数列18用反证法证明:已知a、b均为有理数,且和都是无理数,求证:是无理数解析解法一:假设为有理数,令t,则t,两边平方,得bt22ta,.a、b、t均为有理数,也是有理数即为有理数,这与已知为无理数矛盾故假设不成立一定是无理数解法二:假设为有理数,则()()ab.由a0,b0,得0.a、b为有理数,即ab为有理数为有理数,为有理数()()为有理数,即2为有理数从而也就为有理数,这与已知为无理数矛盾,一定为无理数