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1、数字信号处理第二章z变换 2 4 主讲 熊美英E mail wax8301 九江学院电子工程学院 2 第二章z变换 2 1引言2 2z变换的定义及收敛域2 3z反变换2 4z变换的基本性质和定理2 5z变换与拉普拉斯变换 傅立叶变换的关系2 6序列的傅里叶变换2 7傅里叶变换的一些对称性质2 8离散系统的系统函数及频率响应 3 回顾 2 3z反变换 求z反变换的方法 1 围线积分法 留数法 2 部分分式展开法 3 长除法 4 1 围线积分法 留数法 注意 应用第二式计算时 要求的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上 5 2 部分分式展开法 然后各部分查表作z反变换 再相加 6
2、部分分式的系数Ak Ck分别为 留数定理求出 7 3 长除法将X z 分解成简单分式和的形式 每部分对应一个因果序列或一个反因果序列 对因果序列 分子 分母多项式按降幂排列相除 对反因果序列 分子 分母多项式按升幂排列相除 8 2 4z变换的基本性质和定理 1 线性2 序列的移位3 乘以指数序列 z域尺度变换 4 序列的线性加权 z域求导数 5 共轭序列6 翻褶序列7 初值定理8 终值定理9 有限项累加特性10 序列的卷积和 时域卷积和定理 11 序列相乘12 帕赛瓦定理 9 1 线性如果则有 序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合 收敛域为两者重叠部分 如果在z变换的线性组合中 存在零极点
3、相消 则收敛域可能扩大 10 例2 10 已知 求其z变换 解 11 12 收敛域为两者重叠部分 如果在z变换的线性组合中 存在零极点相消 则收敛域可能扩大 参见 例2 11 见性质2 13 2 序列的移位如果则有 证明 根据z变换的定义证明 移位后的序列z变换等于原序列z变换 收敛域规律 14 例2 11 求序列x n u n u n 3 的z变换 解 15 3 乘以指数序列 z域尺度变换 如果则有 证明 根据z变换的定义证明 16 4 序列的线性加权 z域求导数 如果则有 证明 见下页 怎样证明 从右至左证明 17 18 5 共轭序列如果则有 证明 19 6 翻褶序列如果则有 证明 见下页
4、 20 证明 21 7 初值定理证明 怎样证明 显然 22 8 终值定理 证明 见下页 怎样证明 23 证明 24 又由于只允许X z 在z 1处可能有一阶极点 故因子 z 1 将抵消这一极点 因此 z 1 X z 在上收敛 所以可取z 1的极限 25 9 有限项累加特性证明 见下页 26 证明 27 28 10 序列的卷积和 时域卷积和定理 29 证明 30 31 例2 12 解 先求X z H z 然后相乘 再作反变换 32 33 11 序列相乘 z域复卷积定理 其中 C是在变量V平面上 X z v H v 公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线 证明从略 34 例2 13 解 见下页 35 解 36 37 38 12 帕赛瓦定理 其中 表示复共轭 闭合积分围线C在公共收敛域内 证明从略 39 几点说明 40 41 回顾 2 4z变换的基本性质和定理 1 线性2 序列的移位3 乘以指数序列 z域尺度变换 4 序列的线性加权 z域求导数 5 共轭序列6 翻褶序列7 初值定理8 终值定理9 有限项累加特性10 序列的卷积和 时域卷积和定理 11 序列相乘12 帕赛瓦定理 42 43 44 45
