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1、第三 四章功 能 动量作业及解答 1 有一个摆长为 L 的单摆 悬点在 A 在 A 的垂直下方置一个小钉 B 今使小球自 C 点释 放 小球恰能绕 B 做圆周运动 问钉 B 与悬点 A 的距离 d 是多少 解 不计阻力 小球自 C 至 D 点时的速度为 小球恰能作圆周运动 则它在 E 点时的速度需恰好满足 故 由机械能守恒定律 有 于是得到 所以 2 一质量为 m 的陨石从距地球表面高为 h 处由静止开始落向地面 忽略空气阻力 问 1 陨石从开始到落地的下落过程中 万有引力所作的功是多少 2 陨石落地时的速率多大 设地球质量为 M 半径为 R 引力常数为 G 解 1 取地心为原点 O 从 O
2、到陨石的 方向为 r 的正方向 陨石从高度 h 处落到 地面时 引力所作功为 2 若取陨石为研究对象 根据动能定理 有 故陨石落地时的速率为 3 由半径为 R 的光滑球面顶点处 物体 m 自静止开始滑落 求物体脱离球面时的临界角 即物体脱离球面处的半径与竖直方向的夹角 解 C A D E B R d L 解 取物体 m 和光滑球面为系统 物体下滑 过程中 机械能守恒 取顶点处为势能零点 设物体脱离球面时距离顶点为 h0 由图可知 系统机械能守恒 而初始状态时总机械能为 0 故 而物体脱离球面表面的临界条件为 支持力 FN 0 即 于是可解得 4 如图所示 在墙壁上固定一个水平放置的轻弹簧 弹簧
3、的另一端连一质量为 m 的物体 弹簧的劲度系数为 k 物体 m 与水平面间的摩擦系数为 开始时 弹簧没有伸长 现 以恒力 F 将物体自平衡位置开始向右拉动 试求此系统所具有的最大势能 解 此题须注意的是 势能最大的位置是弹簧拉升最长处 而不是合力为 0 处 弹簧拉升最长处 物体达到最远距离 这时物体的速度为 0 因而动能为 0 以平衡位置为坐标原点 O 设物体达到最远处坐标为 xmax 合外力在过程中做功为 系统初始机械能为 0 终态仅有弹性势能 由功能原理 解得 5 如图所示 质量为 m1和 m2的两木块用劲度系数为 k 的弹簧相连 静止的放在光滑水平 面上 今有一质量为 m 的子弹沿弹簧的
4、轴线方向以速度 v0射入木块 m1后嵌在 m1内 试求 1 弹簧的最大压缩长度 2 木块 m2的最大速度和最小速度 解 设子弹 m 和木块 m1碰转后获得共同速度 v10 根据水平方向动量守恒 有 故 取 m m1 m2和弹簧 k 为系统 系统在运动过程中水平方向动量守恒 且等于质心的动量 设质心的速度为 vc 则有 可见 系统质心在做惯性运动 选择质心参考系 碰撞后的瞬间 m m1和 m2在质心参考系中的速度分别是 此时弹簧尚未压缩 势能为零 因此系统机械能为 弹簧具有最大压缩长度 xm时 m m1和 m2在质心系中的速度为 0 系统机械能为 由系统机械能守恒知上面两式相等 将和代入后可解得
5、 质心系中 当弹簧为原长 弹性势能为 0 时 木块 m2具有最大速度或最小速度 设此时 m m1的速度为 m2的速度为 取此为终态 由机械能守恒定律 有 1 质心系中 系统的总动量为 0 即 2 联立以上两式 并将代入 可解得 因此 在地面参照系中 m2的最大速度和最小速度为 解法 2 子弹打入 m1的过程 动量守恒 注意此时机械能不守恒 此后 m m1作为整体 与弹簧 m2构成的系统水平动量守恒 机械能守恒 当弹簧压缩至 最短时 弹性势能最大 且 三者具有相同的速度 设该速度为 解得 2 当弹簧恢复原长时 弹簧弹力为 0 木块们水平方向不受力 加速度为 0 因而此时木 块们的速度大小处于极值
6、状态 即最大速度或者最小速度 用表示此时 m m1 速度 用表 示此时 m2速度 则有 联立两式 得 于是得到 6 假设一个质量为 0 5kg 的球被木棒击中 木棒对球的击打力满足抛物线规律 即为 t 的 二次函数 已知 t 0 5ms 时 力 F t 0 t 2ms 时 F t 2200N 且 F t 0 求木棒与 球刚刚脱离接触的瞬间 球的速度是多大 解 设 F t 的曲线方程是 F t a t2 bt c 将条件代入可得 0 25 a 0 5 b c 0 4a 2b c 2200 2at b 4a b 0 可解得 冲量 又 其中 可解得 7 如图 质量 M 0 5kg 的物块 自半径 R
7、 1 4m 的光滑圆弧轨道的 A 点由静止开始下滑 当它滑到光滑水平面 C 点时 有一个质量为 m 0 02kg 的子弹射入木块中 使它们一起 沿轨道上升 上升到 B 点时脱离轨道 求子弹射入木块前的速度 g 取 10m s2 已知 解 设子弹射入前速度是 v0 木块从 A 滑到 C 后速度是 v1 子弹射入后共同速度是 v2 由机械能守恒 由动量守恒定律 1 由机械能守恒 木块脱离时压力为零 即 于是得到 代入 1 可解得 8 一个箭体质量为 M0 不含燃料部分 载有燃料 m0的火箭在太空中由静止开始点 火 燃烧后的炽热气体相对于火箭以 u 的速度向后喷出 求 1 燃料耗尽时火箭的速度 是多少 2 若火箭在均匀重力场 g 中垂直起飞 T 时间后燃料耗尽 则燃料耗尽瞬间 火箭速度是多大 解 1 设某一中间时刻 t 火箭的质量为 M 含箭体和 t 时刻剩余燃料 速度为 v 由题意知在 dt 时间后 喷出的燃料质量为 dm 则火箭的剩余质量为 M dm 速 度为 v dv 喷出的燃料为 dM 速度为 v u 则由动量守恒有 Mv M dm v dv dM v u 略去高阶小量 dm dv 化简得 即 燃料耗尽时 火箭速度 M mv0 A B 2 t 到 t dt 过程中 由动量定理 有 我们得到 即 积分 得
