《高等代数》知识点梳理.pdf

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1、Stephen 高等代数知识点梳理高等代数知识点梳理 第四章第四章 矩阵矩阵 一 矩阵及其运算一 矩阵及其运算 1 矩阵的概念矩阵的概念 1 定义 由ns 个数 ij a si 2 1 nj 2 1 排成s行n列的数表 sns n aa aa 1 111 称为s行n列矩阵 简记为 nsij aA 2 矩阵的相等 设 nmij aA klij aB 如果lm kn 且 ijij ba 对 mi 2 1 nj 2 1 都成立 则称A与B相等 记BA 3 各种特殊矩阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 方阵 上 下三角矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵 2 矩阵的运算矩阵的运算 1 矩阵的加法 snsnss

2、nn sns n sns n baba baba bb bb aa aa 11 111111 1 111 1 111 运算规律 ABBA CBACBA AOA OAA 2 数与矩阵的乘法 sns n sns n kaka kaka aa aa k 1 111 1 111 运算规律 lAkAAlk kBkABAk AkllAk OAA 3 矩 阵 的 乘 法 sms m nmn m sns n cc cc bb bb aa aa 1 111 1 111 1 111 其 中 1 Stephen njiniiiiij bababac 2211 si 2 1 mj 2 1 运算规律 BCACAB AC

3、ABCBA CABAACB BkAkBAABk 一般情况 BAAB ACAB 0 A CB 0 AB 0 A或0 A 4 矩阵的转置 sns n aa aa A 1 111 A 的转置就是指矩阵 nsn s aa aa A 1 111 运算规律 AA BABA ABAB kAkA 5 方阵的行列式 设方阵 111 1 n nnn aa A aa 则A的行列式为 111 1 n nnn aa A aa 运算规律 AA AkkA n BABAAB 这里A B均为n级方阵 二 矩阵的逆二 矩阵的逆 1 基本概念基本概念 1 矩阵可逆的定义 n级方阵A称为可逆的 如果有n级方阵B 使得EBAAB 这里

4、E是单位矩阵 2 伴随矩阵 设 ij A是矩阵 nnn n aa aa A 1 111 中元素 ij a的代数余子式 矩阵 2 Stephen nnn n AA AA A 1 111 称为A的伴随矩阵 1 基本性质 基本性质 1 矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化 0 A 而 1 A A A 2 如果矩阵A B可逆 那么 A与AB也可逆 且 11 AA 111 ABAB 3 设A是ns 矩阵 如果P是ss 可逆矩阵 Q是nn 可逆矩阵 那么 AQrankPArankArank 三 矩阵分块三 矩阵分块 对于两个有相同分块的准对角矩阵 l A A A 0 0 1 l B B B 0 0 1 如果

5、它们相 应的分块是同级的 则 1 llB A BA AB 0 0 11 2 ll BA BA BA 0 0 11 3 21l AAAA 4 A可逆的充要条件是 l AAA 21 可逆 且此时 1 1 1 1 0 0 l A A A 四 初等变换与初等矩阵四 初等变换与初等矩阵 1 基本概念基本概念 1 初等变换 初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵 用一个非零的数k乘矩阵的第i行 列 记作 kckr ii 互换矩阵中i j两行 列 的位置 记作 jiji ccrr 3 Stephen 将第i行 列 的k倍加到第j行 列 上 记作 jiij kcckrr 称为矩阵的三种初 等行 列 矩阵 2 初

6、等方阵 单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵 2 基本性质基本性质 1 对一个ns 矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss 初等 矩阵 对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn 初等矩阵 2 任意一个ns 矩阵A都与一形式为 1000 0100 0010 0000 0000 的等价 它称为矩阵 A的标准型 主对角线上 1 的个数等于A的秩 3 n级矩阵A为可逆的充分必要条件是 它能表示成一些初等矩阵的乘积 4 两个ns 矩阵A B等价的充分必要条件是 存在可逆的s级矩阵P与可逆的n 级矩阵Q 使PAQB 3 用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法 把n级矩阵

7、A E这两个nn 矩阵凑在一起 得到一个nn 2 矩阵 AE 用初等行 变换把它的左边一半化成E 这时 右边的一半就是 1 A 第五章第五章 二次型二次型 1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 1 二次型 设P是一数域 一个系数在数域P中的 n xxx 21 的二次齐次多项式 n nnnnnnnn xaxxaxaxxaxxaxaxxxf 22 2 222112112 2 11121 222 称 为数域P上的一个n元二次型 2 二次型矩阵 设 21n xxxf 是数域P上的n元二次型 21n xxxf 可写 成矩阵形式AXXxxxf n 21 其中 21n xxxX nnij aA AA A

8、 称为二次型 21n xxxf 的矩阵 秩 A 称为二次型 21n xxxf 的秩 4 Stephen 3 矩阵的合同 数域P上nn 矩阵A B称为合同的 如果有属于P上可逆的nn 矩阵C 使ACCB 2 标准型及规范性标准型及规范性 定理定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型 22 22 2 11nny dydyd 用矩阵的语言叙述 即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对 角矩阵 定理定理 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型 22 2 2 1r zzz 且规范形是唯一的 定理定理 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型

9、 22 1 22 2 2 1qppp zzzzz 且规范形是唯一的 其中p称为此二次型的正惯性指 数 qrp 称为此二次型的负惯指数 spq 称为此二次型的符号差 3 正定二次型及正定矩阵正定二次型及正定矩阵 1 基本概念 正定二次型 实二次型 21n xxxf 称为正定的 如果对于任意一组不全为零的 实数 n ccc 21 都有0 21 n cccf 正定矩阵 实对称矩阵A称为正定的 如果二次型AXX 正定 负定 半正定 半负定 不定的二次型 设 21n xxxf 是一实二次型 对于任 意一组不全为零的实数 n ccc 21 如果0 21 n cccf 那么 21n xxxf 称为负 定的

10、如果都有0 21 n cccf 那么称 21n xxxf 为半正定的 如果都有 0 21 n cccf 那么 21n xxxf 称为半负定的 如果它既不是半正定的又不是半 负定的 那么 21n xxxf 就称为不定的 2 正定二次型 正定矩阵的判定 对于实二次型AXXxxxf n 21 其中A 是实对称的 下列条件等价 21n xxxf 是正定的 A是正定的 5 Stephen 21n xxxf 的正惯指数为n A与单位矩阵合同 A的各阶顺序主子式大于零 第六章第六章 线性空间线性空间 1 线性空间的定义线性空间的定义 设V是一个非空集合 P是一个数域 在集合V的元素之间定义了一种代数运算 这

11、 就是说 给出了一个法则 对于V中的任意两个元素 在V中都有唯一的一个元素 与 它们对应 称为 与 的和 记为 在数域P与集合V的元素之间还定义了一 种运算 叫做数量乘法 这就是说 对于属于P中任意数k与V中任意元素 在V中都 有唯一的元素 与它们对应 称为k与 的数量乘积 记为 k 如果加法与数量乘法 满足下述规则 那么V称为数域P上的线性空间 1 2 3 在V中有一元素 0 对于V中任意元素 都有 0 具有这个性质的元素 0 称为V的零元素 4 对于V中的每一个元素 都有V中的元素 使得0 称为 的 负元素 5 1 6 kllk 7 lklk 8 kkk 2 维数 基与坐标维数 基与坐标

12、1 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量 但是没有更多数目的线性无关的 向量 那么V就称为n维的 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量 那么V就 称为无限维的 2 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量 n 21 且V中任一向量都 6 Stephen 可以用它们线性表出 那么V是n维的 而 n 21 就是V的一组基 3 在n维线性空间中 n个线性无关的向量 n 21 称为V的一组基 设 是 V中任一向量 于是 n 21 线性相关 因此 可以被基 n 21 唯一的线 性表出 nn aaa 2211 其中系数 n aaa 21 称为 在基 n 21 下的 坐标 记 21n aaa 3 基变换

13、与坐标变换基变换与坐标变换 1 设 n 21 与 n eee 21 是n维线性空间V中两组基 如果 nnn n nn aa aa eee 1 111 2121 矩阵 nnn n aa aa A 1 111 称为 n 21 到基 n eee 21 的过度矩阵 2 设 n 21 与 n eee 21 是n维线性空间V中两组基 由基 n 21 到基 n eee 21 的过度矩阵为A 向量 在这两组基下的坐标分别为 21n xxx 与 21n yyy 则 4 3 2 1 4 3 2 1 y y y y A x x x x 4 线性子空间线性子空间 1 数域P中线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线

14、性子空间 如果W对 于V的两种运算也构成数域P上的线性空间 2 线性空间V的非空子集W是V的子空间的充分必要条件是W对于V的两种运算 封闭 3 线性空间V的子空间 1 V 2 V的交与和 即 21 VV 21 VV 都是V的子空间 4 维数公式 如果 1 V 2 V是线性空间V的两个子空间 那么 dim dim dimdim 212121 VVVVVV 5 设 1 V 2 V是线性空间V的子空间 如果和 21 VV 中的每个向量 的分解式 7 Stephen 21 11 V 22 V 是唯一的 这个和就称为直和 记为 21 VV 6 设 1 V 2 V是线性空间V的子空间 下列这些条件是等价的

15、 21 VV 是直和 零向量的表示式是唯一的 0 21 VV 2121 dimdim dim VVVV 5 线性线性空间的同构空间的同构 1 数域P上两个线性空间V与 V称为同构的 如果由V到 V有一个 1 1 的映上 的映射 具有以下性质 kk 其中 是V中任意向量 k是P中任意数 这样的映射 称为同构映射 2 数域P两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数 第七章第七章 线性变换线性变换 一一 线性变换及其运算线性变换及其运算 1 线性变换的定义线性变换的定义 线性空间V的的一个变换A称为线性变换 如果对于V中任意元素 和数域P中 任意数k 都有 A AA kk A A 2

16、线性变换的运算线性变换的运算 设A B是数域P上线性空间V的两个线性变换 kP 1 加法 A BAB 2 数乘 kk AA 3 乘法 ABA B 4 逆变换 V的变换A称为可逆的 如果有V的变换B 使 ABBAE V的 恒等变换 3 变换的矩阵变换的矩阵 8 Stephen 1 设 n 21 是数域P上的n维线性空间V的一组基 A是V中的一个线性变 换 基向量的象可以被基线性表出 111 11221 221 12222 1 122 nn nn nnnnnn Aeaaa Aeaaa Aeaaa 用矩阵来表示是 121212 nnn A AAAA 其中 111 1 n nnn aa A aa 矩阵 A称为A在基 n 21 下列矩阵 2 设 n 21 是数域P上n维向量空间V的一组基 在这组基下 每个线性变换 按公式对应一个n n 矩阵 这个对应具有以下性质 线性变换的和对应于矩阵的和 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积 可逆的线性变换与可逆矩阵对应 且逆变换对应于逆矩阵 3 设线性变换A在基 n 21 下的矩阵是A 向量 在基 n 21 下的坐标 是 1