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1、关于绳子 中张力的 分布 学号1210182 问题引入 在高中我们学的知识告诉我们 绳子中的张力处处相等 并且经常 由此列等式 可是 实际上绳子中的张力是真的处处相等吗 当时你记得我们有什么前提条件吗 初步解释 当时我们是假设绳子为轻绳 即绳子没有质量 还有不考虑绳子和 物体之间的摩擦 可是我们知道 实际情况下分析绳子中张力的分布 是必须考虑这 两个因素的 介绍电子作业探究问题 而我的探究就是从这两个因素开始的 下面我将和你们一同讨论在实际情况下绳子中张力的分布 首先 请大家 来思考一个简 单的场景 在 这个场景中我 们仅考虑摩擦 力的影响 放牛的时候 把牛 栓在树上 当时我 们将绳绕在树上几
2、 周 能使树的一端 拴住一头牛 只要 用很小的力能拽住 一头牛 原因何在 为了解决这个 问题 我们首 先得抽象出一 个物理模型 受力分析图如下 绳索绕在绞盘的固定圆柱上 当绳子承受负荷巨 大的拉力 T 人可以用小得多的力TB拽住绳子 设绳 与圆柱的摩擦系数为 绳子绕圆柱的张角为 如图所示 考虑在 处对圆心张角 的一段线 元 分析它受力的情况 此处略去绳索质量 T T cos N 2 T T sin N 2 由于取的是微元 所以 很小 cos 1 T T T T 2T 解方程得到 T N 消去 N 得 dT 取 0时的极限 对上式 积分得 设绞盘上 A B两点 分别对应 A和 B B A T d
3、T d B A T T B T ln T B A A 其 中B A 上式表明张力随 增大按指数减小 所以很 假设 0 5 20N 则容易算出 10710N 可以想象如果 多缠绕几圈 那么绳子另 一端可以承受非常大的力 上面我们仅仅考虑了摩 擦力对绳子中张力分布 的影响 下面我们将来 讨论一下绳子的质量对 绳子中张力分布的影响 当然此时我们也有一些 假设 下面还是请大家来思考一个 问题 假设一根绳子的两端 被固定住 并且等高平行 那么你能求出绳子的曲线方 程吗 而由此你能求出绳子 中张力的分布吗 悬链线的定义 悬链线悬链线 Catenary 是一种曲线 它的形 状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用
4、下 掉下来之形相似而名 适当选择坐标系后 悬链线的方程是一个双曲余弦函数 下面 我们研究的是两端等高悬挂的理想柔性软 索的曲线 工程计算中 可近似用抛物线 计算 B 以绳子的最低点O为原点建立平面直角 坐标系 取横坐标为X X 0 的点A 然 后取一个和它关于Y轴对称的点B 记线 密度为 m 2L 记AB段绳子上的A点受到的张力为T 还 有O点受到的张力为F 易知绳子端点N 受到的拉力水平分量等于F 1 设两根绳子之间的 距离为2d 绳长为 2L 绳子质量分布 均匀 为m 2Tsin 2L g 1 Tcos F 2 2 有如下方程组 另g F a 因为tan f x 3 将 1 式除以 2 式
5、得 tan g F L 2 0 1 x dy Ldx dx 对上式经过整理 可以 得到右式 2 1 dy d dy dx adxd arsh dx dy dx dy axcarsh dx 由于f x 是偶函 数 所以易知 c 0 对N点进行受力分析 在N 点时 tan 1 2 mg T 因为tan dy dx sh ax m 2L 可得方程 sh ad aL 解这个超越 方程即可求出a 从而求出 T 由前面的方程组可以 得到绳子上每一点处 的张力 即绳子上的 张力分布 1 绞盘 模型 2 悬链 线模型 3 探究及理论验 证 1 和绳子 与物体间 的摩擦有 关 2 和绳子 的质量有 关 2 猜想影响因素 在现实 世界中 绳子的 张力并 不是处 处相等 1 提出问题
