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1、普通高等教育 十一五 国家级规划教材 信息经济学 第三章信息与非合作博弈理论 3信息与非合作博弈理论 教学目标 了解博弈论的基本概念掌握非合作博弈的种类及其均衡解之间的关系会求博弈的一些基本类型的均衡解 3信息与非合作博弈理论 3 1博弈论概述 3 2完全信息静态博弈 3 3完全信息动态博弈 3 4不完全信息静态博弈 3 5不完全信息动态博弈 博弈论 gametheory 定义 研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题的 是专门研究博弈如何出现均衡的规律的学科 博弈论的相关概念包括 参与人 行动 战略 信息 共同知识 支付函数 结果 均衡 3信息与非合作博弈理论 3
2、1博弈论概述 3 1 1什么是博弈论 3 1 2博弈的分类 3信息与非合作博弈理论 3 1博弈论概述 非合作博弈 参与人行动的先后顺序 参与人对对手信息的掌握 静态博弈 完全信息博弈 不完全信息博弈 动态博弈 表3 1博弈的分类及对应的均衡概念 3信息与非合作博弈理论 3 1博弈论概述 3 1 2博弈的分类 3 1 3博弈论的发展简述 3信息与非合作博弈理论 3 1博弈论概述 1944年 冯 诺伊曼和摩根斯坦恩合作的 博弈论和经济行为 一书的出版 50年代 合作博弈发展到鼎盛时期 60年代 出现了泽尔腾 海萨尼等一些重要人物 80年代 出现了几个比较有影响的人物 包括克瑞普斯和威尔逊 80年代
3、以后 博弈论逐渐成为主流经济学的一部分 甚至可以说成为微观经济学的基础 3 2完全信息静态博弈 一般用G S1 S2 Sn u1 u2 un 表示战略式博弈 3 2 1博弈的战略式表述 3信息与非合作博弈理论 战略式表述 表3 2房地产开发博弈 a 高需求情况开发商B开发不开发开发商A开发不开发 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 1博弈的战略式表述 表3 2房地产开发博弈 b 低需求情况开发商B开发不开发开发商A开发不开发 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 1博弈的战略式表述 表3 3囚徒困境囚犯B坦白抵赖囚犯A坦白抵赖 3 2 2纳什均衡 3信息与
4、非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 一个参与人的最优战略并不依赖于其他参与人的战略选择 即不论其他参与人选择什么战略 他的最优战略是唯一的 这样的最优战略被称为 占优战略 dominantstrategy 1 占优战略均衡 1 占优战略均衡 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 在博弈的战略式表述中 如果对于所有的i si 是i占优战略 那么 战略组合s s1 sn 就称为占优战略均衡 ui si s i ui si s i si si 占优战略均衡 占优战略si 2 重复剔除的占优均衡战略组合s s1 sn 称为重复剔除的占优均衡 如果它是重复剔除劣战略后剩
5、下的唯一的战略组合 如果这种唯一的战略组合是存在的 我们说该博弈是重复剔除占优可解的 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 2 重复剔除的占优均衡表3 4抽象博弈参与人2左中右参与人1上下 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 2 重复剔除的占优均衡表3 5抽象博弈参与人2左中参与人1上下 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 2 重复剔除的占优均衡表3 6抽象博弈参与人2左中参与人1上显然 上 中 就是该博弈唯一的均衡解 这种方法在博弈论中被称为重复剔除严格劣战略 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息
6、静态博弈 3 2 2纳什均衡 3 纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 G S1 S2 Sn u1 u2 un 中 战略组合s s1 s2 sn 是一个纳什均衡 如果对于每一个i si 是给定其他参与人的选择s i s1 si 1 si 1 sn 的情况下 第i个人的最优战略 即ui si s i ui si s i si Si i 或 si 是下述最大化问题的解 si argmaxui s1 si 1 si si 1 sn si Si i 1 2 n 3 纳什均衡在两人有限博弈中 求解纳什均衡有一种简单的方法 划线法 表3 7抽象博弈参与人BLCRU参
7、与人AMD 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 3 纳什均衡纳什均衡有强弱之分 上述定义中给出的是弱纳什均衡 一个纳什均衡是强的 如果给定其他参与人的策略 每一个参与人的选择是唯一的 即 s 是一个强Nash均衡 当且仅当对每一个i si si 总有ui si s i ui si s i 在有些博弈中 纳什均衡存在 但它不是强纳什均衡 如表3 8的博弈中 U L 和 U R 都是纳什均衡 但没有一个是强纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 3 纳什均衡表3 8抽象博弈参与人BLCRU参与人AMD 3信息与非合作博弈理论 3
8、 2完全信息静态博弈 3 2 2纳什均衡 设有两个参与人 分别称为企业1和企业2 每个企业的策略是选择产量 得益是利润 它是两个企业产量的函数 我们用qi 0 表示第i个企业的产量 Ci qi 表示成本函数 P P q1 q2 表示逆需求函数 第i个企业的利润函数为 i q1 q2 qiP q1 q2 Ci qi i 1 2 q1 q2 是纳什均衡产量意味着 q1 argmax 1 q1 q2 q1P q1 q2 C1 q1 q2 argmax 2 q1 q2 q2P q1 q2 C2 q2 3 2 3理论应用 Gournot寡头竞争模型 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 找出纳
9、什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其为零 1 q1 P q1 q2 q1P q1 q2 C1 q1 0 2 q2 P q1 q2 q2P q1 q2 C2 q2 0上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数 q1 R1 q2 q2 R2 q1 反应函数意味着每个企业的最优策略 产量 是另一个企业产量的函数 两个函数的交点就是纳什均衡q q1 q2 如下图 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 3理论应用 Gournot寡头竞争模型 图3 1Gournot模型的纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 3 2 3理论应用 Gournot寡头竞争模型
10、 表3 9猜硬币游戏儿童B正面反面儿童A正面反面表3 10社会福利博弈流浪汉寻找工作游荡政府救济不救济 3 2 4混合战略纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博弈 定义在博弈G S1 S2 Sn u1 u2 un 中 参与人的战略空间为Si si1 si2 sik 则参与人i以概率分布 i i1 ik 随机地在其k个可选战略中选择的 战略 称为 个混合战略 其中0 ij 1 且 ij 1 这样 纯战略可以理解为混合战略的特例 如纯战略si 可以看作是混合策略 i 1 0 0 即选择纯战略si 的概率为1 选择任何其它纯战略的概率为0 3信息与非合作博弈理论 3 2完全信息静态博
11、弈 3 2 4混合战略纳什均衡 3 3完全信息动态博弈 3 3 1博弈的扩展式表述 3信息与非合作博弈理论 扩展式表述 行动顺序 外生事件概率 图3 2房地产开发博弈 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 1博弈的扩展式表述 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 1博弈的扩展式表述 博弈树基本元素 信息集 结 枝 不允许出现下面的情况 图3 3博弈树不允许的情况 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 1博弈的扩展式表述 图3 4抽象例子 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 2扩展式表述博弈的纳什均衡 从上图抽象例子的博弈
12、树我们可以得到 参与人2有两个战略集 相应地也有两个信息集 A h2 1 A h2 2 左 右 其中H2 h2 1 h2 2 参与人2的纯战略空间为 S2 A h2 1 Ah2 2 左 右 左 右 左 左 左 右 右 左 右 右 其中纯战略 左 左 表明 当1取 上 时 2取 左 当1取 下 时 2取 左 如此等等 参与人1有三个信息集H1 hi i i 1 2 3 1的纯战略空间为 S1 A h1 1 A h1 2 A h1 3 上 下 A B C D 共8种纯战略 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 2扩展式表述博弈的纳什均衡 定义战略组合s 是扩展式博弈的一个纳什均衡
13、 如果对于所有的i si 最大化ui si s i 即 si argmaxui si s i 对于任意i注意 因为一个参与人的纳什均衡战略是假定其他参与人的战略为给定时的最优战略 所有参与人似乎是在同时选择战略 但这并不意味着在纳什均衡中 参与人一定是在同时选择行动 定理一个有限完美信息博弈有一个纯战略纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 2扩展式表述博弈的纳什均衡 1 子博弈精炼纳什均衡纳什均衡在原则上适用所有的博弈 但对于预测参与人的行为来说 纳什均衡可能并不是一个合理的预测 如房地产博弈 图3 5房地产开发博弈 3 3 3子博弈精炼纳什均衡 3信息与非合作博弈
14、理论 3 3完全信息动态博弈 1 子博弈精炼纳什均衡图3 6房地产开发博弈 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 3子博弈精炼纳什均衡 1 子博弈精炼纳什均衡正式地 我们有下述定义 定义一个扩展式表述博弈的子博弈G由一个决策结x和所有该决策结的后续结T x 包括终点结 组成 它满足下列条件 x是一个单点信息集 即h x x 对于所有的x T x 如果x h x 则x T x 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 3子博弈精炼纳什均衡 1 子博弈精炼纳什均衡图3 7抽象博弈图3 8抽象博弈 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 3子博弈精炼纳
15、什均衡 1 子博弈精炼纳什均衡有了子博弈的概念 下面给出 子博弈精炼纳什均衡 的正式定义 定义扩展式表述博弈的战略组合s s1 si sn 是一个子博弈精炼纳什均衡 如果满足 1 它是原博弈的纳什均衡 2 它在每一个子博弈上给出纳什均衡 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 3子博弈精炼纳什均衡 2 子博弈精炼纳什均衡的求解 逆向归纳法图3 9三阶段完美信息 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 3子博弈精炼纳什均衡 如同在库诺特模型中一样 在斯坦科尔伯格模型中 企业的行动也是选择产量 不同的是 在斯坦科尔伯格模型中 企业1 称为领头企业 先选择产量q1 Q
16、1 0 企业2 称为尾随企业 观测到q1后选择自己的产量q2 Q2 0 因此 这是一个完美信息动态博弈 假定逆需求函数为P Q a q1 q2 两个企业有相同的不变单位成本c 0 则支付 利润 函数为 ui q1 q2 qi P Q c i 1 2 3 3 4理论应用 Stackelberg寡头竞争模型 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 我们用逆向归纳法求解这个博弈的子博弈精炼完美纳什均衡 假定q1已经选定 企业2的问题是 maxu2 q1 q2 q2 a q1 q2 c 最优化一阶条件为s2 q1 a q1 c 2假定q1 a c 这是实际上是库诺特模型中企业2的反应函数 不同的是 这里 s2 q1 是当企业1选择q1时企业2的实际选择 而在库诺特模型中 R2 q1 是企业2对于假设的q1的最优反应 3信息与非合作博弈理论 3 3完全信息动态博弈 3 3 4理论应用 Stackelberg寡头竞争模型 因为企业1预测到企业2将根据s2 q1 选择q2 企业1在第一阶段的问题是 maxu1 q1 s2 q1 q1 a q1 s2 q1 c 解一阶条件得 q1 a c 2将
