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1、时间序列分析 TimeSeriesAnalysis 第一节时间序列分析的基本概念经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系 按照这一假定 在估计这些长期关系时 计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是常数 不随时间而变 然而 经验研究表明 在大多数情况下 时间序列变量并不满足这一假设 从而产生所谓的 伪回归 问题 spurious regressionproblem 为解决这类问题 研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议 其中最重要的两项是对变量的非平稳性 non stationarity 的系统性检验和协整 cointegration 协整协整分析被认为是上世纪
2、八十年代中期以来计量经济学领域最具革命性的进展 简单地说 协整分析涉及的是一组变量 它们各自都是不平稳的 含义是随时间的推移而上行或下行 但它们一起漂移 这种变量的共同漂移使得这些变量之间存在长期的线性关系 因而使人们能够研究经济变量间的长期均衡关系 如果这些长时间内的线性关系不成立 则对应的变量被称为是 非协整的 notcointegrated 误差修正模型一般说来 协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估计的技术 它是用于动态模型的设定 估计和检验的一种新技术 此外 协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计 这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使用长期参数估计值 采用的模型是误
3、差修正模型 errorcorrectionmodel 在介绍上述方法之前 下面先介绍所涉及的一些术语和定义 一 平稳性 Stationarity 严格平稳性 strictstationarity 如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而变 即对于任何n和k X1 X2 Xn的联合概率分布与X1 k X2 k Xn k的联合分布相同 则称该时间序列是严格平稳的 2 弱平稳性 weakstationarity 由于在实践中上述联合概率分布很难确定 我们用随机变量Xt t 1 2 的均值 方差和协方差代替之 一个时间序列是 弱平稳的 如果 1 均值E Xt t 1 2 7 1 2 方差Var X
4、t E Xt 2 2 t 1 2 7 2 3 协方差Cov Xt Xt k E Xt Xt k rk t 1 2 k 0 7 3 3 平稳性和非平稳性通常情况下 我们所说的平稳性指的就是弱平稳性 一般来说 如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保持恒定 并且两个时期t和t k之间的协方差仅依赖于两时期之间的距离 间隔或滞后 k 而与计算这些协方差的实际时期t无关 则该时间序列是平稳的 只要这三个条件不全满足 则该时间序列是非平稳的 事实上 大多数经济时间序列是非平稳的 例如 在图7 1中 某国的私人消费 CP 和个人可支配收入 PDI 这两个时间序列都有一种向上的趋势 几乎可以断定它们不满足平
5、稳性条件 7 1 因而是非平稳的 二 几种有用的时间序列模型1 白噪声 Whitenoise 白噪声通常用 t表示 是一个纯粹的随机过程 满足 1 E t 0 对所有t成立 2 Var t 2 对所有t成立 3 Cov t t k 0 对所有t和k 0成立 白噪声可用符号表示为 t IID 0 2 7 4 注 这里IID为IndependentlyIdenticallyDistributed 独立同分布 的缩写 2 随机漫步 Randomwalk 随机漫步是一个简单随机过程 由下式确定 Xt Xt 1 t 7 5 其中 t为白噪声 Xt的均值 E Xt E Xt 1 t E Xt 1 E t
6、E Xt 1 这表明Xt的均值不随时间而变 为求Xt的方差 对 7 5 式进行一系列置换 Xt Xt 1 t Xt 2 t 1 t Xt 3 t 2 t 1 t X0 1 2 t X0 t 其中X0是Xt的初始值 可假定为任何常数或取初值为0 则 这表明Xt的方差随时间而增大 平稳性的第二个条件 7 2 不满足 因此 随机漫步时间序列是非平稳时间序列 可是 若将 7 5 式写成一阶差分形式 Xt t 7 6 这个一阶差分新变量 Xt是平稳的 因为它就等于白燥声 t 而后者是平稳时间序列 3 带漂移项的随机漫步 Randomwalkwithdrift Xt Xt 1 t 7 7 其中 是一非0常
7、数 t为白燥声 之所以被称为 漂移项 是因为 7 7 式的一阶差分为 Xt Xt Xt 1 t这表明时间序列Xt向上或向下漂移 取决于 的符号是正还是负 显然 带漂移项的随机漫步时间序列也是非平稳时间序列 4 自回归过程随机漫步过程 7 5 Xt Xt 1 t 是最简单的非平稳过程 它是Xt Xt 1 t 7 8 的特例 7 8 称为一阶自回归过程 AR 1 该过程在 1 1时是平稳的 其他情况下 则为非平稳过程 更一般地 7 8 式又是Xt 1Xt 1 2Xt 2 qXt q t 7 9 的特例 7 9 称为q阶自回归过程 AR q 可以证明 如果特征方程1 1L 2L2 3L3 qLq 0
8、 7 10 的所有根的绝对值均大于1 则此过程 7 9 是平稳的 否则为非平稳过程 三 单整的时间序列 Integratedseries 从 7 6 可知 随机漫步序列的一阶差分序列 Xt Xt Xt 1是平稳序列 在这种情况下 我们说原非平稳序列Xt是 一阶单整的 表示为I 1 与此类似 若非平稳序列必须取二阶差分 2Xt Xt Xt 1 才变为平稳序列 则原序列是 二阶单整的 表示为I 2 一般地 若一个非平稳序列必须取d阶差分才变为平稳序列 则原序列是 d阶单整的 Integratedoforderd 表示为I d 由定义不难看出 I 0 表示的是平稳序列 意味着该序列无需差分即是平稳的
9、 另一方面 如果一个序列不管差分多少次 也不能变为平稳序列 则称为 非单整的 第二节平稳性的检验平稳性检验的方法可分为两类 传统方法和现代方法 前者使用自相关函数 Autocorrelationfunction 后者使用单位根 Unitroots 单位根方法是目前最常用的方法 因此本节中 我们仅介绍单位根方法 一 单位根考察 7 8 式的一阶自回归过程 即Xt Xt 1 t 7 11 其中 t为白噪声 此过程可写成Xt Xt 1 t或 1 L Xt t 7 12 其中L为滞后运算符 其作用是取时间序列的滞后 如Xt的一期滞后可表示为L Xt 即L Xt Xt 1 Xt平稳的条件是特征方程1 L
10、 0的根的绝对值大于1 方程 7 12 仅有一个根L 1 因而平稳性要求 1 1 检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为 H0 1Ha 1接受原假设H0表明Xt是非平稳序列 而拒绝原假设 即接受备择假设Ha 则表明Xt是平稳序列 在 1的情况下 即若原假设为真 则 7 11 就是随机漫步过程 7 5 从上节得知 它是非平稳的 因此 检验非平稳性就是检验 1 或者说 就是检验单位根 换句话说 单位根是表示非平稳性的另一方式 这样一来 就将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验 这就是单位根检验方法的由来 一般来说 Xt的任何自回归模型可以用滞后运算符L写成A L Xt t其中A L 是L的一个多项式
11、 如果A L 的一个根是 1 L 则Xt有一个单位根 7 11 式两端各减去Xt 1 我们得到Xt Xt 1 Xt 1 Xt 1 t即 Xt Xt 1 t 7 13 其中 是差分运算符 1 假设 为正 绝大多数经济时间序列确实如此 前面的假设可写成如下等价形式 H0 0Ha 0在 0的情况下 即若原假设为真 则相应的过程是非平稳的 换句话说 非平稳性或单位根问题 可表示为 1或 0 从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化成在方程 7 11 的回归中 检验参数 1是否成立或者在方程 7 13 的回归中 检验参数 0是否成立 这类检验可分别用两个t检验进行 t 或t 7 14 其中 和
12、分别为参数估计值和的标准误差 即 Se Se 这里的问题是 7 14 式计算的t值不服从t分布 而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布 因而不能使用t分布表 需要用另外的分布表 二 Dickey Fuller检验 DF检验 迪奇 Dickey 和福勒 Fuller 以蒙特卡罗模拟为基础 编制了 7 14 中t 统计量的临界值表 表中所列已非传统的t统计值 他们称之为 统计量 这些临界值如表7 1所示 后来该表由麦金农 Mackinnon 通过蒙特卡罗模拟法加以扩充 将表7 1中临界值与标准t分布表中临界值相比较 按绝对值比 值要比相应的t值大得多 有了 表 我们就可以进行DF检验了 DF检验按
13、以下两步进行 第一步 对 7 13 式执行OLS回归 即估计 Xt Xt 1 t 7 15 得到常规t 值 第二步 检验假设H0 0Ha 0用上一步得到的t 值与表7 1中查到的 临界值比较 判别准则是 若t 则接受原假设H0 即Xt非平稳 若t 则拒绝原假设H0 Xt为平稳序列 Dickey和Fuller注意到 临界值依赖于回归方程的类型 因此他们同时还编制了与另外两种类型方程中相对应的 统计表 这两类方程是 Xt Xt 1 t 7 16 和 Xt t Xt 1 t 7 17 二者的 临界值分别记为 和 T 这些临界值亦列在表7 1中 尽管三种方程的 临界值有所不同 但有关时间序列平稳性的检
14、验依赖的是Xt 1的系数 而与 无关 例7 1检验某国私人消费时间序列的平稳性 用表7 2中的私人消费 Ct 时间序列数据 估计与 7 16 和 7 17 相对应的方程 分别得到如下估计结果 1 12330 48 0 01091Ct 1R2 0 052 t 5 138 1 339 DW 1 765 2 15630 83 346 4522t 0 04536Ct 1R2 0 057 t 1 966 0 436 0 5717 DW 1 716两种情况下 t 值分别为 1 339和 0 571 二者分别大于表7 1中从0 01到0 10的各种显著性水平下的 值和 值 因此 两种情况下都不能拒绝原假设
15、即私人消费时间序列有一个单位根 或换句话说 它是非平稳序列 下面看一下该序列的一阶差分 Ct 的平稳性 做类似于上面的回归 得到如下结果 3 2 7972 671 0 85112 Ct 1R2 0 425 t 4 301 4 862 DW 1 967 4 2 10524 35 114 461t 0 89738 Ct 1R2 0 454 t 3 908 1 294 5 073 DW 1 988其中 2Ct Ct Ct 1 两种情况下 t 值分别为 4 862和 5 073 二者分别小于表7 1中从0 01到0 10的各种显著性水平下的 值和 T值 因此 都拒绝原假设 即私人消费一阶差分时间序列没
16、有单位根 或者说该序列是平稳序列 综合以上结果 我们的结论是 Ct是平稳序列 Ct I 0 而Ct是非平稳序列 由于 Ct I 0 因而Ct I 1 第三节协整让我们考察弗里德曼的持久收入假设 私人总消费 Ct 是持久私人消费和暂时性私人消费 t 之和 持久私人消费与持久个人可支配收入 Yt 成正比 则消费函数为 7 18 其中0 1 1 用表7 2中数据对此消费函数进行OLS估计 假定持久个人收入等于个人可支配收入 我们得到 0 80969YtR2 0 9924 t 75 5662 DW 0 8667 除DW值低以外 估计结果很好 t值很高表明回归系数显著 R2也很高 表明拟合很好 可是 由于方程中的两个时间序列是趋势时间序列或非平稳时间序列 因此这一估计结果有可能形成误导 结果是 OLS估计量不是一致估计量 相应的常规推断程序不正确 这种结果看上去非常好但涉及的变量是趋势时间序列的回归被Granger和Newbold称为 伪回归 Spuriousregression 事实上 他们指出 如果在时间序列的回归中DW值低而R2高 则应怀疑有伪回归的可能 我们上面的结果正是如此 R2 0
